Первая квадратичная форма или метрический тензор поверхности ― квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления длин дуг, углов между кривыми, площади областей на поверхности.

Определение

Пусть поверхность задана уравнением

где и ― внутренние координаты на поверхности;

― дифференциал радиус-вектора вдоль выбранного направления смещения из точки в бесконечно близкую точку . Квадрат главной липшицевой части приращения длины выражается квадратом дифференциала :

и называется первой основной квадратичной формой поверхности. Коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через

.

или в тензорных символах

.

Тензор называется основным, или метрическим, тензором поверхности.

Свойства

• Первая квадратичная форма является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности:

.

См. также

• Вторая квадратичная форма
• Метрический тензор

Ссылки