Первообразный корень по модулю m ― целое число g такое, что

и

при

где ― функция Эйлера. Другими словами, первообразный корень — это образующий элемент мультипликативной группы кольца вычетов по модулю m.

Свойства

Существование

Первообразные корни существуют только по модулям m вида

m = 2, 4, p^a, 2p^a,

где p > 2 ― простое число. Только в этих случаях мультипликативная группа кольца вычетов по модулю m является циклической группой порядка φ(m).

Индекс числа по модулю

Для первообразного корня g его степени g⁰=1, g, …, g^φ(m)-1 несравнимы между собой по модулю m и образуют приведенную систему вычетов по модулю m. Поэтому для каждого числа a, взаимно простого с m, найдется показатель ℓ, 0 ⩽ ℓ ⩽ φ(m)-1, такой, что

Такое число ℓ называется индексом числа a по основанию g.

Количество

Если по модулю m существует первообразный корень g, то всего существует φ(φ(m)) различных первообразных корней по модулю m, причём все их можно получить как g^k, где 1 ⩽ k ⩽ φ(m)-1 и k взаимно просто с φ(m).

История

Первообразные корни для простых модулей были введены Эйлером, но существование первообразных корней для любых простых модулей было доказано лишь Гауссом в 1801 году.

Примеры

Число 3 является первообразным корнем по модулю 7. Чтобы в этом убедиться, достаточно каждое число от 1 до 6 представить как некоторую степень тройки по модулю 7:

Примеры наименьших первообразных корней по модулю m (последовательность A046145 в OEIS):

См. также

• Дискретное логарифмирование
• Показатель числа по модулю
• Гипотеза Артина

Ссылки

• "Первообразные корни" на сайте MAXimal