Поток Риччи — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию римановой метрики на многообразии.

Эта система является нелинейным аналогом уравнения теплопроводности.

Название дано в честь итальянского математика Риччи-Курбастро.

Уравнение

Уравнение потока Риччи имеет вид:^[1]

где обозначает однопараметрическое семейство римановых метрик на полном многообразии (зависящая от вещественного параметра ), и  — её тензор Риччи.

Свойства

• Формально говоря, система уравнений , задаваемая потоком Риччи, не является параболическим уравнением. Тем не менее, существует параболическая система уравнений , такая, что если риманова метрика на компактном многообразии и ,  — решения систем и , то изометрично для всех .
• Аналогично уравнению теплопроводности (и прочим параболическим уравнениям), задав произвольные начальные условия при , можно получить решения лишь в одну сторону по , а именно .
• В отличие от решений уравнения теплопроводности, поток Риччи, как правило, не продолжается неограниченно при . Решение продолжается на максимальный интервал , при приближении к в решении формируется сингулярность. Именно на исследовании сингулярностей, в которые упираются потоки Риччи, и было основано доказательство гипотезы Тёрстона.

История

Начало исследованию потока Риччи было положено Гамильтоном в начале 1980-x.^[1]

Используя поток Риччи, в 2002 году Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и доказать гипотезу Пуанкаре.^[2]

Примечания