Приближение почти свободных электронов — метод в квантовой теории твёрдого тела, в котором периодический потенциал кристаллической решётки считается малым возмущением относительно свободного движения валентных электронов.

Приближение почти свободных электронов предусматривает возникновение узких запрещённых зон в результате брегговской дифракции электронов на периодическом потенциале кристаллической решётке.

Математическая формулировка

Гамильтониан, что описывает движение электрона в потенциальном поле ядер атомов в приближении среднего поля задаётся формулой

,

где — постоянная Планка, m — масса электрона, — периодический потенциал, который учитывает взаимодействие электрона с кристаллической решёткой и другими электронами.

Волновую функцию электрона, которая должна удовлетворять теореме Блоха, можно искать в виде разложения в ряд Фурье

,

где — волновой вектор, — вектор обратной решётки.

Если потенциал малый по величине по сравнению с кинетической энергией электрона, то движение электронов можно считать почти свободным. Энергия электрона задаётся формулой

Эта формула справедлива всюду в зоне Бриллюэна, кроме того случая, когда волновая функция поступательного движения электрона будет интерферировать с волной, рассеянной на периодическом потенциале. Такая ситуация складывается тогда, когда . В этой области волновых векторов используется приближение, согласно которому амплитуды прямой и рассеянной волны определяются системой уравнений:

,

,

где — коэффициенты разложения потенциала в ряд Фурье. Эта система уравнений имеет нетривиальное решение при выполнении условия

,

что задаёт закон дисперсии электронных состояний на границе зоны Бриллюэна. Непосредственно на границе ()

.

В промежутке энергий между и электронных уровней нет, чем определяется существование узкой запрещённой зоны.

См. также

• Одноэлектронное приближение
• Приближение сильно связанных электронов

Литература

Ансельм А.И. Введение в физику полупроводников.. — Москва: Наука., 1978.