Пространства Бесова
B
p
,
q
s
(
R
)
{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}
— полные квазиметрические [en] пространства функций, являющиеся банаховыми при 1 ≤ p , q ≤ ∞ . Названы в честь разработчика — советского математика Олега Владимировича Бесова . Эти пространства, наравне с определяемыми похожим образом пространствами Трибеля — Лизоркина , являются обобщением более простых функциональных пространств и применяются для определения свойств регулярности функций.
Определение
Существует несколько эквивалентных определений, тут приводится одно из них.
Пусть
Δ
h
f
(
x
)
=
f
(
x
−
h
)
−
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta _{h}f(x)=f(x-h)-f(x)}
и модуль непрерывности определён как
ω
p
2
(
f
,
t
)
=
sup
|
h
|
≤
t
∥
Δ
h
2
f
∥
p
.
{\displaystyle \omega _{p}^{2}(f,t)=\sup _{|h|\leq t}\left\|\Delta _{h}^{2}f\right\|_{p}.}
Пусть n будет неотрицательным целым числом, а s = n + α с 0 < α ≤ 1 . Пространство Бесова
B
p
,
q
s
(
R
)
{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}
состоит из функций f таких, что
f
∈
W
n
,
p
(
R
)
,
∫
0
∞
|
ω
p
2
(
f
(
n
)
,
t
)
t
α
|
q
d
t
t
<
∞
,
{\displaystyle f\in W^{n,p}(\mathbf {R} ),\qquad \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}<\infty ,}
где
W
¯
n
,
p
(
R
)
{\displaystyle {\bar {W}}^{n,p}(\mathbf {R} )}
— пространство Соболева .
Норма
В пространстве Бесова
B
p
,
q
s
(
R
)
{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}
существует норма
∥
f
∥
B
p
,
q
s
(
R
)
=
(
∥
f
∥
W
n
,
p
(
R
)
q
+
∫
0
∞
|
ω
p
2
(
f
(
n
)
,
t
)
t
α
|
q
d
t
t
)
1
q
{\displaystyle \left\|f\right\|_{B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}=\left(\|f\|_{W^{n,p}(\mathbf {R} )}^{q}+\int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}}
Пространства Бесова
B
2
,
2
s
(
R
)
{\displaystyle B_{2,2}^{s}(\mathbf {R} )}
совпадают с более обычными пространствами Соболева
H
s
(
R
)
{\displaystyle H^{s}(\mathbf {R} )}
.
Если
p
=
q
{\displaystyle p=q}
и
s
{\displaystyle s}
— не целое число, то
B
p
,
p
s
(
R
)
=
W
¯
s
,
p
(
R
)
{\displaystyle B_{p,p}^{s}(\mathbf {R} )={\bar {W}}^{s,p}(\mathbf {R} )}
, где
W
¯
s
,
p
(
R
)
{\displaystyle {\bar {W}}^{s,p}(\mathbf {R} )}
— пространство Соболева .
Литература
О.В. Бесов, “О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения”, Докл. АН СССР, 126:6 (1959), 1163–1165
Triebel, H. "Theory of Function Spaces II". (англ.)
DeVore, R. and Lorentz, G. "Constructive Approximation", 1993. (англ.)
DeVore, R., Kyriazis, G. and Wang, P. "Multiscale characterizations of Besov spaces on bounded domains", Journal of Approximation Theory 93, 273-292 (1998). (англ.)
Ссылки
9.2 Пространства Бесова / Д. Пикар, "Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева), ISBN 978-1-4612-2222-4 , 1998