Псевдообра́тная ма́трица — обобщение понятия обратной матрицы в линейной алгебре. Псевдообратная матрица к матрице обозначается . Наиболее известно псевдообращение Мура — Пенроуза, которое было независимо описано Э. Х. Муром^* (Moore) и Роджером Пенроузом ^*. Концепцию псевдообратных интегрирующих операторов в 1903 году представил Фредгольм. Обобщенное обращение (Generalized inverse) включает в себя псевдообращение, удовлетворяющее более строгим условиям. Псевдообращение можно понимать как наилучшую аппроксимацию (по методу наименьших квадратов) решения соответствующей системы линейных уравнений (см. далее в применении). Псевдообращение определено для любых матриц над действительными и комплексными числами. Псевдообратная матрица может быть вычислена с помощью собственного представления матрицы.

Определение

называется псевдообратной матрицей для матрицы , если она удовлетворяет следующим критериям:

2.       ( является слабым обращением в мультипликативной полугруппе);
3.       (это означает, что — эрмитова матрица);
4.       ( — тоже эрмитова матрица).

Здесь — эрмитово сопряжённая матрица M (для матриц над полем действительных чисел ).

Существует эквивалентный способ задания псевдообратной матрицы через предел обратных:

(смотрите регуляризация Тихонова). Этот предел существует, даже если и не определены.

Свойства

• Псевдообращение обратимо, более того, эта операция обратна самой себе:
  .
• Псевдообращение коммутирует с транспонированием, сопряжением и эрмитовым сопряжением:
  ,
  ,
  
• Псевдообратное произведение матрицы на скаляр равно соответствующему произведению матрицы на обратное число :
  , для ≠ 0.
• Если псевдообратная матрица для уже известна, она может быть использовано для вычисления :
  .
• Аналогично, если матрица уже известна:
  .

Особые случаи

• Если столбцы матрицы линейно независимы, тогда матрица обратима. В таком случае псевдообратная матрица задаётся формулой

Это эквивалентно тому, что в первой части определения через предел убирается слагаемое с . Отсюда следует что — левая обратная матрица для A:   .

• Если строки матрицы линейно независимы, тогда матрица обратима. В таком случае псевдообратная матрица задаётся формулой

Это эквивалентно тому, что во второй части определения через предел убирается слагаемое с . Отсюда следует, что — правая обратная матрица для A:   .

• Если и столбцы и строки линейно независимы (что верно для квадратных невырожденных матриц), псевдообращение равно обращению:

• Если A и B таковы, что произведение определено, и
  • либо ,
  • либо ,
  • либо столбцы линейно независимы и строки линейно независимы,

тогда

.

• Псевдообращение можно применять и к скалярам, и к векторам. Это подразумевает, что их будут считать матрицами. Псевдообратный к скаляру — ноль, если — ноль, и обратный к в противном случае:

• Псевдообратный для нулевого вектора — транспонированый нулевой вектор. Псевдообратный для иного вектора — сопряжённый транспонированный вектор, делённый на квадрат своей длины:

Для доказательства достаточно проверить, что эти величины удовлетворяют определению псевдообратных.

Происхождение

Если существует, то

что порождает понятие псевдообращения

.

Вычисление

Пусть k — ранг матрицы A размера . Тогда A может быть представлена как , где B — матрица размера с линейно независимыми столбцами и C — матрица размера с линейно независимыми строками. Тогда

Если A имеет полнострочный ранг, то есть k = m, тогда в качестве B может быть выбрана единичная матрица и формула сокращается до . Аналогично, если A имеет полностолбцовый ранг, то есть, k = n, имеем

Простейший вычислительный путь получения псевдообратной матрицы — использование собственного представления матрицы (СПМ).

Если — собственное представление A, тогда Для диагональной матрицы, такой как , псевдообратная вычисляется обращением каждого ненулевого элемента на диагонали.

Существуют оптимизированые подходы для вычисления псевдоинверсии блочных матриц.

Если псевдоинверсия известна для некой матрицы и нужно найти псевдоинверсию для аналогичной матрицы, иногда она может быть вычислена с помощью специальных алгоритмов, требующих меньшего количества расчётов. В частности, если аналогичная матрица отличается от начальной на один изменённый, добавленный или удалённый столбец или строку — существуют накопительные алгоритмы, которые могут использовать взаимосвязь между матрицами.

Применение

Псевдоинверсия реализирует решение метода наименьших квадратов для системы линейных уравнений^*.

При этом для данной системы ищется вектор , который минимизирует квадрат евклидовой нормы невязки .

Общее решение неоднородной системы представимо как сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы .

Лемма: Если существует, тогда решение всегда представимо как сумма псевдообратного решения неоднородной системы и решения однородной системы:

Доказательство:

				.

Здесь вектор произвольный(с точностью до размерности). В двух других членах есть псевдообратная матрица . Переписав её в форме , приведём выражение к форме:

Первый член — псевдообратное решение. В терминах метода наименьших квадратов — это наилучшее приближение к настоящему решению. Это значит, что корректирующий член имеет минимальную евклидову норму. Следующий член даёт решение однородной системы , потому что — оператор проектирования на ядро оператора A, тогда как — оператор проектирования на образ оператора A.

Литература

1. http://www.ams.org/bull/1920-26-09/S0002-9904-1920-03322-7/S0002-9904-1920-03322-7.pdf
2. ↑  Роджер Пенроуз: A generalized inverse for matrices. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 51, 406-413 (1955)
3. ↑  Роджер Пенроуз: On best approximate solution of linear matrix equations. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 52, 17-19 (1956)
4. ↑  Алберт А.: Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. перев. с англ. Москва, "Наука", 224 с.(1977)
5. ↑  Беклемишев Д.В.: Дополнительные главы линейной алгебры. Москва, Наука. (1983)