Размерность Вапника — Червоненкиса или VC-размерность — это характеристика семейства алгоритмов для решения задачи классификации с двумя классами, характеризующая сложность или ёмкость этого семейства. Это одно из ключевых понятий в теории Вапника-Червоненкиса о статистическом машинном обучении, названное в честь Владимира Вапника и Алексея Червоненкиса.

Сами Вапник и Червоненкис предпочитают называть эту величину комбинаторной размерностью, так как, как выяснилось, она была известна алгебраистам еще до открытия их теории машинного обучения.^[1]

Определение

Пусть задано множество и некоторое семейство индикаторных функций (алгоритмов классификации, решающих правил) , где  — аргумент функций,  — вектор параметров, задающий функцию. Каждая такая функция сопоставляет каждому элементу множества один из двух заданных классов. VC-размерностью семейства называется наибольшее число , такое, что существует подмножество из элементов множества , которые функции из могут разбить на два класса всеми возможными способами. Если же такие подмножества существуют для сколь угодно большого , то VC-размерность полагается равной бесконечности.

VC-размерность можно обобщить и на случай семейства функций , принимающих действительные значения. Его VC-размерность определяется как VC-размерность семейства индикаторных функций , где пробегает область значений функций .^[2]

Примеры

Как пример, рассмотрим задачу о разбиении точек на плоскости на два класса прямой линией — это так называемый линейный классификатор. Множество из любых трёх точек, не лежащих на одной прямой, может быть разделено прямой линией на два класса всеми возможными способами ( способами, на рисунке ниже показаны два из них), но множества из четырёх и более точек — уже нет. Поэтому VC-размерность линейного классификатора на плоскости равна трём.

В общем случае, VC-размерность линейных классификаторов в -мерном пространстве равна .

Примечания