Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид

где  ,   — многочлены от любого числа переменных.

Частным случаем являются рациональные функции одного переменного:

, где P(x) и Q(x) — многочлены.

Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.

Свойства

• Любое выражение, которое можно получить из переменных с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
• Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции.
• Любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробей (см. Метод неопределённых коэффициентов), это применяется при аналитическом интегрировании.

Правильные дроби

Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот.

Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения (a — вещественный корень Q(x)) либо (где не имеет действительных корней), причём степени k не больше кратности соответствующих корней в многочлене Q(x). На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским.

См. также

• Рациональное число
• Наипростейшая дробь
• Египетские дроби
• Список интегралов от рациональных функций