Эта статья описывает систему корней в математике, для описания корневой системы растений смотрите — корень.

В математике систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) — это конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определенным геометрическим свойствам. Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли. С тех пор как группы Ли (и некоторые другие аналоги, такие как алгебраические группы) в течение двадцатого века появились во многих разделах математики. Более того, классификация систем корней по схемам Дынкина встречается в разделах математики, не связанных явно с группами Ли (например, в теории сингулярностей).

Определение

Пусть  — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением обозначаемым как . Система корней в  — это конечное множество ненулевых векторов (называемых корнями), которые удовлетворяют следующим свойствам.

1. является линейной оболочкой системы корней.
2. Если два корня , являются коллинеарными векторами, то либо они совпадают, либо .
3. Для каждого корня множество замкнуто относительно отражения в гиперплоскости, перпендикулярной . То есть для любых двух корней и , множество содержит отражение

4. (Целостное условие) Если и есть корни в , тогда проекция на прямую, проходящую через , есть полуцелое умножение . То есть

Принимая во внимание свойство 3, целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между и его отражением равна корню , умноженному на некоторое целое число. Следует отметить, что оператор

определенный свойством 4 не является скалярным произведением. Он не симметричен и линеен только по первому аргументу.

Классификация систем корней по схемам Дынкина

Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2

Существует только одна система корней ранга 1, она состоит из двух ненулевых векторов . Эта система называется .

В ранге 2 существуют четыре возможных варианта , где .

См. также

• E8 (математика)

Ссылки

• Структура полупростых алгебр Ли // Успехи математических наук. — 1947. — Т. 2. — № 4(20). — С. 59–127.
• Классификация простых групп Ли // Математический сборник. — 1946. — Т. 18(60). — № 3. — С. 347–352.
• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. -- М.: МЦНМО, 2008. -- 216 с.
• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам -- М.: УРСС, 1995. -- 344 с.
• Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. -- М.: Наука, 1980. -- 400 с.
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. -- М.: Мир, 1972. -- 332 с.