Субфакториал числа n (обозначение: !n) определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок порядка n без неподвижных точек. Название субфакториал происходит из аналогии с факториалом, определяющим общее количество перестановок.

В частности, !n есть число способов положить n писем в n конвертов (по одному в каждый), чтобы ни одно не попало в соответствующий конверт (т. н. Задача о письмах).

Явная формула

Субфакториал можно вычислить с помощью принципа включения-исключения:

Другие формулы

• , где обозначает неполную гамма-функцию (англ.), а e — математическая константа;
• , где обозначает ближайшее к x целое число.
• (согласно Mehdi Hassani), где обозначает целую часть числа.
• Справедливы формальные тождества: и , где нужно понимать как , а — как .

Таблица значений

 !1 = 0

 !2 = 1

 !3 = 2

 !4 = 9

 !5 = 44

 !6 = 265

 !7 = 1 854

 !8 = 14 833

 !9 = 133 496

 !10 = 1 334 961

 !11 = 14 684 570

 !12 = 176 214 841

 !13 = 2 290 792 932

 !14 = 32 071 101 049

 !15 = 481 066 515 734

 !16 = 7 697 064 251 745

 !17 = 130 850 092 279 664

 !18 = 2 355 301 661 033 953

 !19 = 44 750 731 559 645 106

 !20 = 895 014 631 192 902 121

 !21 = 18 795 307 255 050 944 540

последовательность A000166 в OEIS

Свойства

• (таким же свойством обладает сам факториал)

где и . Начальные члены последовательности :

1, 1, 3, 11, 53, 309, 2119, … (последовательность A000255 в OEIS)

• Число 148349 равно сумме субфакториалов своих цифр (аналог факториона):

(найдено J. S. Madachy, 1979)

• Субфакториал иногда допускается в математических играх типа получения различных результатов из определённых цифр (например, известна игра Четыре четвёрки, где равенство !4 = 9 может принести пользу).