Тензорное произведение — операция над линейными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т.д.) перемножаемых пространств.

Тензорное произведение линейных пространств и есть линейное пространство, обозначаемое . Для элементов и их тензорное произведение лежит в пространстве .

Обозначение тензорного произведения произошло по аналогии с обозначением для декартова произведения множеств.

Тензорное произведение линейных (векторных) пространств

Конечномерные пространства

Пусть и  — конечномерные векторные пространства над полем ,  — базис в ,  — базис в . Тензорным произведением пространств и будем называть векторное пространство, порождённое элементами , называемыми тензорными произведениями базисных векторов. Тензорное произведение произвольных векторов можно определить, полагая операцию билинейной:

При этом тензорное произведение произвольных векторов и выражается как линейная комбинация базисных векторов . Элементы в , представимые в виде , называются разложимыми.

Хотя тензорное произведение пространств определяется через выбор базисов, его геометрические свойства не зависят от этого выбора.

Функториальность

Тензорное произведение — это в некотором смысле наиболее общее пространство, в которое можно билинейно отобразить исходные пространства. А именно, для любого другого пространства и билинейного отображения существует единственный гомоморфизм такой, что

В частности, отсюда следует, что тензорное произведение не зависит от выбора базисов в и , так как все получающиеся при этом пространства оказываются канонически изоморфны.

Таким образом, произвольное билинейное отображение может быть определено как линейное отображение , причём достаточно задать его лишь на произведениях базисных векторов.

Пространства и являются канонически изоморфными.

Частные случаи

Тензорное произведение двух векторов

(Матричное) умножение вектора-столбца справа на вектор-строку даёт их тензорное произведение:

или, если пользоваться верхними и нижними индексами (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование):

Если же не привязываться к матричной форме записи и матричным операциям, то, как и для тензоров более высокого ранга, прямое произведение будет представлять тензор более высокого ранга (для произведения векторов — второго, то есть с двумя значками) с компонентами, равными произведениям компонент множителей с соответствующими индексами:

Произведение двух векторов называется также диадным, а результат (тензор второго ранга) — диадой.

Тензорным произведением пространства векторов-столбцов на пространство векторов-строк является пространство матриц.

Тензорное произведение операторов

Пусть ,  — линейные операторы. Тензорное произведение операторов определяется по правилу

Если матрицы операторов при некотором выборе базисов имеют вид

то матрица их тензорного произведения запишется в базисе, образованном тензорным произведением базисов, в виде блочной матрицы

Соответствующая операция над матрицами называется кронекеровским произведением, по имени Леопольда Кронекера.

Свойства

Следующие алгебраические свойства основаны на каноническом изоморфизме:

• Ассоциативность

• Коммутативность

• Линейность

 — внешняя сумма линейных пространств.

Тензорное произведение модулей

Пусть  — модули над некоторым коммутативным кольцом . Тензорным произведением модулей называется модуль над , данный вместе с полилинейным отображением и обладающий свойством универсальности, то есть такой, что для всякого модуля над и любого полилинейного отображения существует единственный гомоморфизм модулей такой, что диаграмма

коммутативна. Тензорное произведение обозначается . Из универсальности тензорного произведения следует, что оно определено однозначно с точностью до изоморфизма.

Для доказательства существования тензорного произведения любых модулей над коммутативным кольцом построим свободный модуль , образующими которого будут n-ки элементов модулей где . Пусть  — подмодуль , порождаемый следующими элементами:

Тензорное произведение определяется как фактор-модуль , класс обозначается , и называется тензорным произведением элементов , a определяется как соответствующее индуцированное отображение.

Из 1) и 2) следует что отображение полилинейно. Докажем, что для для любого модуля и любого полилинейного отображения существует единственный гомоморфизм модулей , такой, что .

В самом деле, так как свободен, то существует единственное отображение , делающее диаграмму

коммутативной, а в силу того, что полилинейно, то на , отсюда, переходя к индуцированному отображению, получаем, что , будет тем самым единственным гомоморфизмом, существование которого и требовалось доказать.

Элементы , представимые в виде , называются разложимыми.

Если  — изоморфизмы модулей, то индуцированный гомоморфизм, соответствующий билинейному отображению

существующий по свойству универсальности, называется тензорным произведением гомоморфизмов .

Особенно простой случай получается в случае свободных модулей. Пусть  — базис модуля . Построим свободный модуль над нашим кольцом, имеющий в качестве базиса элементы, соответствующие n-кам , определив отображение и распространив его на по линейности. Тогда является тензорным произведением, где является тензорным произведением элементов . Если число модулей и все их базисы конечны, то

.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.

См. также

• Свёртка тензора
• Тензор
• Тензорное поле