В дифференциальной геометрии, линейчатая поверхность ― поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие, направляющей кривой. Если ― радиус-вектор направляющей, a ― единичный вектор образующей, проходящей через , то радиус-вектор линейчатой поверхности есть
где ― координата точки на образующей.
Свойства
- Линейчатая поверхность характеризуется тем, что ее асимптотическая сеть ― полугеодезическая.
- Гауссова кривизна линейчатой поверхности .
- Теорема Бельтрами. Линейчатую поверхность всегда можно и притом единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической.
- Теорема Бонне. Кроме того, если линейчатая поверхность , не являющаяся развертывающейся, изгибается в линейчатую поверхность , то либо их образующие соответствуют друг другу, либо обе они изгибаются в квадрику, на которой сеть, соответствующая семействам образующих, ― асимптотическая.
- Единственная минимальная линейчатая поверхность ― геликоид.
- Линейчатая поверхность вращения ― однополостный гиперболоид, быть может вырождающийся в цилиндр, конус или плоскость.
- Если все прямолинейные образующие линейчатой поверхности параллельны одной плоскости, то она представляет собой поверхность Каталана.
Литература
