18-10-2023
Теоре́ма Па́ппа — это классическая теорема проективной геометрии. Она формулируется следующим образом:
|
Пусть A, B, C — три точки на одной прямой, A' , B' , C' — три точки на другой прямой. Пусть три прямые АВ' , BC' , CA' пересекают три прямые A’B, B’C, C’A, соответственно в точках X, Y, Z. Тогда точки X, Y, Z лежат на одной прямой. |
Несложно видеть, что двойственная формулировка к теореме Паппа является лишь переформулировкой самой теоремы.
|
Пусть прямые проходят через точку A, проходят через точку A'. пересекает и в точках B и C, a_2 пересекает и в точках C' и Z, пересекает и в точках B' и X. Тогда прямые BC', B’C и XZ пересекаются в одной точке (на чертеже — Y) или параллельны. |
Теорема Паппа является вырожденным случаем в теореме Паскаля: если заменить в теореме Паскаля вписанный в конику шестиугольник на вписанный в пару пересекающихся прямых, то она станет эквиевалентной теореме Паппа. Сам Паскаль считал пару прямых коническим сечением (то есть считал теорему Паппа частным случаем своей теоремы).
Содержание |
Формулировка и доказательство этой теоремы содержатся в «Математическом собрании» Паппа Александрийского (начало IV века н. э.). В Новое время теорема была опубликована издателем и комментатором работ Паппа Федерико Коммандино в 1566 году.
Если увести на бесконечность прямую XY, то теорема переходит в несложное утверждение о параллельности прямых, проще всего доказываемое с применением гомотетии:
|
Пусть A, B, C — три точки на одной прямой, A' , B' , C' — три точки на другой прямой, при этом AB' параллельно A’B, а BC' параллельно B’C. Тогда A’C параллельно AC'. |
Теорема Паппа.
