Теорема Пика (комплексный анализ)

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Пика.

Теорема Пика, или теорема Шварца — Пика, инвариантная форма леммы Шварца, — обобщение леммы Шварца, состоящее в следующем:

Пусть — регулярная аналитическая функция из единичного круга в единичный круг

Тогда для любых точек и круга неевклидово расстояние их образов , не превосходит неевклидова расстояния .

Равенство достигается только в том случае, когда есть дробно-линейная функция, отображающая круг на себя.

Условие

эквивалентно следующему неравенству:

Если и бесконечно близки, оно превращается в

Литература

Рiсk G. Mathematische Annalen. — 1016. — Bd 77. — S. 1—6.
Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — 2 изд. — М., 1966.