Душа — компактное тотально выпуклое тотально геодезическое подмногообразие риманова многообразия являющееся его деформационным ретрактом.

Обычно предполагается, что полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.

Примеры

• Любое компактное многообразие является своей душой.

• У евклидовa пространствa Rⁿ любая точка является его душой.

• У параболоида M = {(x,y,z) : z = x² + y²}, начало координат (0,0,0) — душа M. При этом не любая точка 'x, принадлежащая M, является его душой, так как могут существовать геодезические петли, начинающиеся в точке x.

• У бесконечного цилиндра M = {(x,y,z) : x² + y² = 1}, Любая «горизонтальная» окружность {(x,y,z) : x² + y² = 1} с фиксированной z является душой M.

История

Термин «душа» был введён Чигер (англ.) и Громол (англ.) в 1972-ом году^[1] в статье где они в частности доказали теорему о душе. Эта теорема обобщает более ранюю теорему Громола и Мейера^[2]

В той же статье Чигером и Громолом была сформулирвана гипотеза о душе которая была доказана Перельманом^[3] в 1994 очень кратко и красиво.

Свойства

Ниже предполагаем, что это полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0

• Теорема о душе утверждает:

  Если (M, g) имеет душу S. Более того многообразие M диффеоморфно нормальному расслоению S.

• Душа, вообще говоря, не определяется однозначно многообразием (M, g), но любые две души (M, g) изометричны.
  • Последнее доказал Шарафутдинов в 1979^[4], построив так называемую ретракцию Шарафутдинова; это 1-Липшицев деформационный ретрачт

• Ретракция Шарафутдинова являтся римановой субмерсией. В частности если имеет хоть одну точку со строго положительной секционной кривизной то его душа есть точка и само многообразие гомеоморфно евклидову пространству.

Связанные открытые вопросы

• Гипотеза о двойной душе утверждает^[5], что любое компактное многообразие неотрицательной секционной кривизны можно покрыть двумя расслоениями на диски.

Ссылки

1. On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature", 0309010, 0003-486X, DOI 10.2307/1970819 
2. On complete open manifolds of positive curvature", 0247590, 0003-486X, DOI 10.2307/1970682 
3. Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll", Journal of Differential Geometry Т. 40 (1): 209-212, 1285534, 0022-040X, <http://www.intlpress.com/JDG/archive/1994/40-1-209.pdf> 
4. О выпуклых множествах в многообразии неотрицательной кривизны", Матем. заметки Т. 26 (1): 129—136 
5. ↑ K. Grove, Geometry of and via smmetries