Lt304888.ru

Туристические услуги

Теорема о распределении простых чисел

28-05-2023

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел. А именно, она утверждает, что количество простых чисел на отрезке от 1 до n растёт с ростом n как , то есть:

когда

Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до n шанс оказаться простым примерно равен .

Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения -го простого числа : она утверждает, что

(здесь и далее запись означает: ).

Содержание

История

Первым статистическую закономерность в расположении простых чисел подметил Гаусс. В письме Энке (1849) он сообщил, что ещё в 1792 или 1793 году, чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму»[1]. К этому времени, основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и Вегой, Лежандр предположил в 1796 году, что функция может быть приближена выражением:

где Гаусс в упомянутом письме критикует формулу Лежандра и, используя эвристические рассуждения, предлагает другую приближающую функцию — интегральный логарифм:

Однако Гаусс нигде не опубликовал эту гипотезу. Оба приближения, как Лежандра, так и Гаусса, приводят к одной и той же предполагаемой асимптотической эквивалентности функций и , указанной выше, хотя приближение Гаусса и оказывается существенно лучше, если при оценке ошибки рассматривать разность функций вместо их отношения.

В двух своих работах, 1848 и 1850 года, Чебышев доказывает[2], что верхний M и нижний m пределы отношения

(1)

заключены в пределах , а также, что если предел отношения (1) существует, то он равен 1. Позднее (1881) Дж. Дж. Сильвестр сузил допустимый интервал для предела с 10% до 4%.

В 1859 году появляется работа Римана, рассматривающая (введённую Эйлером как функцию вещественного аргумента) -функцию в комплексной области, и связывающая её поведение с распределением простых чисел. Развивая идеи этой работы, в 1896 году Адамар и Валле-Пуссен одновременно и независимо доказывают теорему о распределении простых чисел.

Наконец, в 1949 году появляется не использующее комплексный анализ доказательство Эрдеша—Сельберга.

Общий ход доказательства

Переформулировка в терминах пси-функции Чебышева

Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка закона распределения простых чисел в терминах пси-функции Чебышева (англ.), определяемой как

\psi(x)=\sum_{p^k \le x} \log p, \qquad \qquad (*)

иными словами, пси-функция Чебышева это сумма функции Мангольдта (англ.):

\psi(x)=\sum_{n\le x} \Lambda(n), \qquad \Lambda(n)= \begin{cases} \log p, & n=p^k, \, k\ge 1, \quad p \,\text{is a prime} \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}

А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простых чисел равносилен тому, что

\psi(x)\sim x, \quad x\to \infty.

Это происходит из-за того, что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка , а вклад квадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтому практически все складываемые логарифмы примерно равны , и функция асимптотически ведёт себя так же, как .

Классические рассуждения: переход к дзета-функции Римана

Как следует из тождества Эйлера,

\zeta(s)=\prod_p \frac{1}{1-p^{-s}},

ряд Дирихле («производящая функция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минус логарифмической производной дзета-функции:

\sum_n \Lambda(n) n^{-s} = - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}.

Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, от функции равен при и 0 при . Поэтому, умножение правой и левой части на и (аккуратное — несобственные интегралы сходится только условно!) и интегрирование по вертикальной прямой по оставляет в левой части в точности сумму с . С другой стороны, применение теоремы о вычетах позволяет записать левую часть в виде суммы вычетов; каждому нулю дзета-функции соответствует полюс первого порядка её логарифмической производной, с вычетом, равным 1, а полюсу первого порядка в точке  — полюс первого порядка с вычетом, равным .

Строгая реализация этой программы позволяет получить[3] явную формула Римана (англ.)[4]:

\psi(x) =x-\sum_{{\rho: \, \zeta(\rho)=0, \atop 0<Re(\rho)<1}}\frac{x^\rho}{\rho} - \log(2\pi) -\frac{1}{2}\log(1-x^{-2}). \qquad \qquad (**)

Суммирование тут ведётся по нулям дзета-функции, лежащим в критической полосе , слагаемое отвечает полюсу в нуле, а слагаемое  — так называемым «тривиальным» нулям дзета-функции .

Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы и влечёт за собой искомое утверждение (сумма в формуле (**) будет расти медленнее, чем x). Кроме того, гипотеза Римана влечёт за собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения от , и, соответственно, на отклонения от .

Элементарное доказательство: завершение Эрдеша-Сельберга

Основная теорема арифметики, записывающаяся после логарифмирования как

\ln n = \sum_{p,k: \, p^k|n} \ln p

тем самым формулируется в терминах арифметических функций и свёртки Дирихле как

\ln = \Lambda * \mathbf{1},

где и  — арифметические функции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.

Формула обращения Мёбиуса позволяет перенести в правую часть:

\Lambda= \ln * \mu, \qquad \qquad (**)

где  — функция Мёбиуса.

Сумма левой части (**) — искомая функция . В правой части, применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки к сумме где  — сумма логарифма. Применение формулы Эйлера-Маклорена[убрать шаблон] позволяет записать как

L(n)=n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln n + \gamma + o(1),

где  — постоянная Эйлера. Выделяя из этого выражения слагаемые, имеющие вид для подходящим образом подобранной функции F (а именно, ), и обозначая через R остаток, имеем в силу обращения Мёбиуса

\Lambda = F + \sum_k R(n/k) \mu(k).

Поскольку остаётся проверить, что второе слагаемое имеет вид . Применение леммы Аскера позволяет свести эту задачу к проверке утверждения где  — сумма функции Мёбиуса.

Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулы обращения, применённой к функции .

Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (с мультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальному уравнению» первого порядка

\mu'=-\mu*\Lambda,

где  — дифференцирование в этой алгебре (переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцирование функции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка

\mu''= \mu*(\Lambda*\Lambda - \Lambda').

«Усредение» этого уравнения позволяет и то, что асимптотика суммы функции оценивается лучше асимптотики сумм , позволяет оценивать отношение M(x)/x через средние значения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью по подпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку .

См. также

Примечания

  1. ↑ Дербишир, 2010, с. 178-179.
  2. ↑ Н. И. Архиезер, «П. Л. Чебышев и его научное наследие».
  3. http://people.reed.edu/~jerry/361/lectures/rvm.pdf
  4. Explicit Formula (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

Классические труды

  • Jacques Hadamard. Sur la distribution des zéros de la fonction et ses conséquences arithmétiques. Bull. Soc. Math. France, № 24 (1896), 199—220.
  • Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897.
  • Чебышев П. Л. Об определении числа простых чисел, меньших данной величины, 1848.
  • Чебышев П. Л. О простых числах, 1850.
  • Bernhard Riemann. Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse // Monatsberichte der Berliner Akademie. — 1859.

Современная литература

  • Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2
  • Диамонд Г. Элементарные методы в изучении распределения простых чисел, УМН, 45:2(272) (1990), 79-114.
  • Постников А. Г., Романов Н. П. Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел, УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87
  • Erdős, P. Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
  • Selberg, A. An Elementary Proof of the Prime Number Theorem, Ann. Math. 50, 305—313, 1949.

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. Prime Number Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Теорема о распределении простых чисел.

© 2020–2023 lt304888.ru, Россия, Волжский, ул. Больничная 49, +7 (8443) 85-29-01