23-10-2023
Тепловые флуктуации приводят к тому, что на поверхности жидкости постоянно генерируются капиллярные волны, которые оказывают значительное влияние на структуру поверхностного слоя жидкости.
Тепловые флуктуации плотности имеют место во всей толще жидкости, однако в большинстве случаев этими эффектами можно пренебречь в силу их малости. Исключение составляют критические явления и явления на границе жидкость—пар. Наличие тепловых флуктуаций приводит к тому, что поверхностный слой размывается, в связи с чем различают два профиля плотности — реальный и внутренний (intrinsic), не возмущенный флуктуационным коллективным движением частиц. Простым и в то же время естественным способом описания рассматриваемых флуктуаций является представление поверхности жидкости суперпозицией капиллярных волн.
Содержание |
Впервые явление флуктуационного размывания границы жидкость—пар было предсказано Смолуховским в 1908.[1] Пять лет спустя в 1913 Мандельштам описал это явление количественно посредством капиллярных волн.[2] Однако затем в течение достаточно долгого времени при изучении структуры поверхностного слоя данный феномен не принимался во внимание. Лишь после выхода работы[3] интерес к капиллярным волнам возродился, так как было показано, что равновесные капиллярные волны существенно размывают границу раздела фаз.
Обратимся непосредственно к теории капиллярных волн (CWT) и рассмотрим выражение для среднего квадрата амплитуды тепловых капиллярных волн.
где — коэффициент поверхностного натяжения, — капиллярная длина, — минимальная длина капиллярной волны, — длина стороны сосуда (последний предполагается квадратным в горизонтальном сечении).
Примем за невозмущенную границу жидкость—пар плоскость . Деформацию этой границы под действием капиллярных волн опишем величиной вертикального смещения . Полагая, что поверхностное натяжение не зависит от кривизны поверхности, запишем изменение поверхностной составляющей энергии при деформации границы:
Аналогично для изменения гравитационной составляющей энергии:
Здесь для простоты было положено, что толщина межфазной поверхности равна нулю, т.е. над границей раздела плотность вещества равна , а под ней — , и плотность можно вынести из под интеграла по вертикальной координате.
Далее, представим смещение рядом Фурье (считаем, что поверхность жидкости ограничена квадратом ):
— волновой вектор, — вектор . Сразу заметим, что должна существовать минимальная длина волны , определяемая молекулярной природой строения вещества. Часто за минимальную длину волны принимают среднее межмолекулярное расстояние в жидкости, однако точное её определение остается открытым вопросом.
Теперь избыточная энергия , связанная с деформацией, запишется в следующем виде:
где — капиллярная длина, для воды она равна 0,39 см.
Капиллярные волны по сути являются некоторыми коллективными степенями свободы. Так как система находиться в состоянии термодинамического равновесия, воспользуемся теоремой о равнораспределении и получим:
а для среднего квадрата амплитуды капиллярных волн:
Оценка суммы выше интегралом окончательно приводит к:
Для воды при обычных условиях при изменении от 1 мм до 1 м средняя амплитуда капиллярных волн меняется слабо и составляет около 0,5 нм (что превосходит размер молекул и среднее рвсстояние между ними). Однако при увеличении размеров и ослаблении силы тяжести эта амплитуда растет неограниченно.
Тепловые капиллярные волны.