25-09-2023
Томогра́фия (др.-греч. τομή — сечение) — получение послойного изображения внутренней структуры объекта.
Анатомическая томография, разрушающая томография, биотомия — основана на физическом выполнении срезов исследуемого организма с их последующей фиксацией с помощью химических веществ, с дальнейшей регистрацией их на фотоплёнку. Классическими примерами анатомической томографии являются пироговские срезы и изображения гистологических препаратов. Для сохранения формы организма при выполнении срезов, организм фиксируется, например, путём замораживания.
Реконструктивная томография, неразрушающая томография — получение тем или иным способом информации о распределении интересующего параметра в объекте большей размерности по его проекциям меньшей размерности без разрушения объекта; антоним анатомической томографии. В объём понятия входят вычислительная (она же компьютерная, она же цифровая) и аналоговая реконструктивная томографии.
Аналоговая реконструктивная томография — реконструктивная томография, использующая для восстановления распределения параметра объекта не цифровые, а аналоговые вычислительные устройства (например, оптические).
В классической трактовке под томографией понимается метод рентгенологического исследования, которым можно получить один снимок — изображение слоя, лежащего на выбранной глубине исследуемого объекта.
Он был предложен Бокажем через несколько лет после открытия рентгеновских лучей и был основан на перемещении двух из трёх компонентов рентгенографии (рентгеновская трубка, рентгеновская плёнка, объект исследования).
Наибольшее распространение получил метод съёмки, при котором исследуемый объект оставался неподвижным, а рентгеновская трубка и кассета с плёнкой согласованно перемещались в противоположных направлениях. При синхронном движении трубки и кассеты, четким на пленке получается только необходимый слой, потому что только его вклад в общую тень остаётся неподвижным относительно плёнки, всё остальное смазывается, почти не мешая проводить анализ полученного изображения.
В настоящее время доля последнего метода в исследованиях в мире уменьшается в связи со своей относительно малой информативностью.
В России, в связи с дороговизной и недостаточной укомплектованностью медицинских учреждений современным диагностическим оборудованием и высокой заболеваемостью туберкулезом, данный метод остаетсялинейная томография.
широко распространенным и актуальным. В настоящее время данный метод получил название классическая томография илиВ медицине при диагностике заболеваний зубочелюстной системы широко используется панорамная томография. За счёт движения излучателя и кассеты с рентгеновской плёнкой по специальным траекториям выделяется изображение в форме цилиндрической поверхности. Это позволяет получить снимок с изображением всех зубов пациента.
Вычислительная томография — область математики, занимающаяся разработкой математических методов и алгоритмов реконструкции внутренней структуры объекта по проекционным данным — цифровым снимкам объекта, сделанным посредством многократного просвечивания этого объекта в различных пересекающихся направлениях.
Внутренняя структура как правило представляется в воксельной форме. Получение массива вокселей по массиву проекционных снимков называется прямой томографической задачей. К области вычислительной томографии так же относится и решение обратной томографической задачи — формирование произвольного проекционного вида на основании известной внутренней структуры.
Также вычислительной томографией может называться практическая область деятельности, занимающаяся томографией с использованием этих численных методов.
Компьютерная томография (КТ) — то же, что вычислительная томография. Однако, чаще всего под КТ подразумевается томография рентгеновская.
С точки зрения взаиморасположения источника зондирующего излучения, объекта и детектора томографические методы могут быть разделены на следующие группы:
По сфере применения выделяют:
Известны несколько тысяч алгоритмов, применяемых для задач вычислительной (реконструктивной) томографии. Их можно объединить в несколько больших основных групп.
Со времён Абеля, Радона, Вайнштейна применялись алгоритмы аналитического обратного преобразования. Математической особенностью этих задач является то, что они принадлежат классу некорректно по Адамару поставленных задач, как правило, родственных интегральным уравнениям Фредгольма. Эффективным средством их решения при конечном числе проекций является метод регуляризации академика А. Н. Тихонова, развитый впоследствии Филлипсом, Арсениным, Ягломом, Тананой и многими др.
Для осесимметричных систем применяют непосредственно обратное преобразование Абеля. Его дискретная версия впервые была применена Ван-Циттертом для задачи разрешения сверх предела Рэлея.
Для 2-мерных систем, описываемых 2-мя разделяющимися переменными, применяют элементарное преобразование Агравала и Содха. Для систем с известной группой симметрии теорема Вайнштейна указывает наименьшее число проекций, достаточных для точной реконструкции системы.
С 40-х годов (Тихонов и др.) томографические задачи для 2- и 3-мерных объектов поддаются решению численными методами. Численная дискретная модель системы интегральных уравнений сводится, в конечном итоге, как правило, к особенной (недоопределённой либо, напротив, переопределённой и несовместной) системе линейных уравнений большого размера, причём с размерностью от 3-х и 4-х (для 2-мерной томографии) до 5- и 6-мерной (для 3-мерной томографии). В экспериментальной ядерной физике и физике пучков заряженных частиц известна 4-мерная томография (Sandia Nat.Lab., Broockhaiwen Nat.Lab., CERN, Исследовательский центр им. М. В. Келдыша, МФТИ и др.).
Таким образом, решение таких систем классическими «точными» методами (Гаусса-Жордана и т. п.) нереально вследствие кубически по числу элементов объекта =NM, где N — характерный линейный размер объекта, M — размерность, больших вычислительных затрат (что доказано теоремой Клюева — Коковкина — Щербака). Например, для 2-мерных задач порядка 100х100 потребуется порядка 1 трлн операций с накоплением погрешностей округления, а для 3-мерных 100х100х100 — порядка 1018 операций, что соответствует времени порядка 1 часа счёта на рекордных современных в мире многопетафлопных супер-ЭВМ. Итак, класс 1 вычислительно неудовлетворителен.
Для их решения применяют 3 иных класса алгоритмов.
Класс 2. Безытерационное обратное преобразование разложения проекций по ортогональным функциям (Фурье, Чебышёва, Котельникова, Хартли, Уолша, Радемахера и др.).
Класс 3. Регуляризация по Тихонову (или без неё до заранее оцененного предела сверхразрешения Косарева) в сочетании с итерационными методами многомерного поиска — спуска, Монте-Карло и др.
Класс 4. Регуляризация по Тихонову (или без неё до заранее оцененного предела сверхразрешения Косарева) в сочетании с итерационными проекционными алгоритмами. Все проекционные алгоритмы базируются на теореме математика Банаха (г. Львов) о сжимающих отображениях. Важным их достоинством является гарантированная и устойчивая сходимость итераций. Ещё более важным их достоинством для многомерной томографии является радикально более низкая вычислительная трудоёмкость — квадратичная по N**M. Для вышеуказанных параметров объекта в 2-мерном случае это пропорционально 100 млн операций и числу итераций, то есть порядка 1 часа счёта на рядовой современной ПЭВМ (для итераций первого порядка) и порядка 1 сек. для итераций второго порядка. В 3-мерном случае (100х100х100) это пропорционально 1 трлн операций и числу итераций, то есть порядка 1 сек. (если первого порядка) или порядка 1 миллисекунды (если второго порядка) на супер-ЭВМ.
Первые технические и биологические вычислительные интроскопы-томографы в СССР (40-е — 50-е гг.) и первые медицинские вычислительные томографы в США (70-е гг.) фактически использовали ряд версий метода польского математика Качмажа (1937 г.), в том числе советского математика И. А. Бочека (1953 г., МФТИ). Так, награждённые Нобелевской премией Кормак и Хаунсфилд использованный ими алгоритм Качмажа (обеспечивающий достижение точки наименьших квадратов) называли ART (1973 г.), алгоритм советского математика Тараско (обеспечивающий достижение точки максимума правдоподобия, 60-е гг., ФЭИ, г. Обнинск) они назвали MART, также они использовали алгоритм японского математика Куино Танабе (1972 г.), являющийся релаксационной и сверхрелаксационной версией алгоритма Качмажа. Часто используется алгоритм Фридена (обеспечивающий достижение точки максимума энтропии). Стохастические методы перебора уравнений в проекциях (первым из таких была стохастическая версия алгоритма И. А. Бочека, опубликованная в 1971 г.) позволяют избежать регулярных артефактов и значительно улучшить качество изображения.
Если для схем сканирования «тонкими лучами» система уравнений сравнительно хорошо обусловлена (следовательно, результат реконструкции мало чувствителен к неизбежным погрешностям измерений проекций), то для сканирования «толстыми лучами» (что характерно для задач ЯМР-томографии, УЗИ, ПЭТ, СВЧ-интроскопии Ощепкова, электротоковой томографии, система уравнений оказывается очень плохо обусловленной. Это приводит к резкому замедлению приближения итераций вышеупомянутых проекционных методов к решению. Для решения таких систем используют методы А. В. Горшкова (МФТИ) и С. Елсакова (ЮУрГУ), отличающиеся нечувствительностью к плохой обусловленности решаемых систем уравнений, а также, за счёт необходимого стохастического перебора уравнений в них, отсутствием регулярных артефактов, и, наконец, скоростью сходимости (в практических задачах) на 2-3 порядка большей, чем указанные ранее.
Для нелинейных уравнений и томографии объектов большой размерности (3-мерной в медицине, науке и технике, 4-, 5-, 6-мерной в ядерной физике и физике плазмы и пучков заряженных частиц, в ускорительной технике) эффективным методом решения являются варианты метода Монте-Карло в метрических пространствах большой размерности.
Алгоритм советского и российского математика А. А. Абрамова (МФТИ) одновременных сжимающих итерации к решению и итерации к ортогонализации обеспечивает гарантию устойчивой сходимости к решению и заодно весьма точную оценку погрешности и скорости реконструкции. Укажем, что в плохо обусловленных системах в качестве его элементарных итераций рекомендуются не итерации первого порядка (Качмажа-Бочека, Тараско, Фридена и т. п.), а второго порядка (Горшкова, Елсакова и др.), или даже (в случае необходимости, пока не встреченной в практических задачах) итерации 3-го или большего порядков.
Заметим, что не следует без необходимости использовать итерации слишком высоких порядков, так как вычислительные затраты на них при неограниченном увеличении порядка итерации стремятся к кубическим (по N**M) (как у прямого обращения Гаусса-Жордана).
Для решения вычислительных задач синфазных УЗ-, СВЧ-, СБММ- и электропотенциальной томографии используют алгоритм академика Лаврентьева.
Томография.