Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами.

Свойства

• Множество трансцендентных чисел континуально.
• Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число  — иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем многочлена (и потому является алгебраическим).
• Порядок на множестве вещественных трансценденстных чисел изоморфен порядку на множестве иррациональных чисел.

Примеры

• Число .
• Число ^[1].
• Десятичный логарифм любого целого числа, кроме чисел вида .^[2]
• , и , для любого ненулевого алгебраического числа (по теореме Линдемана — Вейерштрасса).

История

Впервые понятие трансцендентного числа ввёл Ж. Лиувилль в 1844 году, когда доказал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью.

В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов.

В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа и неразрешимость задачи квадратуры круга.

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если , — алгебраическое число, и  — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что  — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число . Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

Вариации и обобщения

В теории Галуа рассматривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P.

Открытые проблемы

Неизвестно, является ли рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом^[3].

Неизвестна точная мера иррациональности^{[убрать шаблон]} для чисел …^[4].

См. также

• Кольцо периодов

Примечания