В физике и математике, уравнение Гамильтона — Якоби

Здесь S обозначает классическое действие,  — классический гамильтониан,  — обобщенные координаты.

Непосредственно относится к классической (не квантовой) механике, однако хорошо приспособлено для установления связи между классической механикой и квантовой, так как его можно, например, получить практически прямо из уравнения Шрёдингера в приближении быстроосциллирующей волновой функции (больших частот и волновых чисел).

В классической механике возникает обычно из специального канонического преобразования классического гамильтониана, которое приводит к этому нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, решение которого описывает поведение динамической системы.

Следует отличать уравнение Гамильтона — Якоби от уравнений движения Гамильтона и Эйлера — Лагранжа. Хотя это уравнение и выводится из них, но представляет собой одно уравнение, описывающее динамику механической системы с любым количеством степеней свободы s, в отличие от 2s уравнений Гамильтона и s уравнений Эйлера — Лагранжа.

Уравнение Гамильтона — Якоби помогает элегантно решить задачу Кеплера.

Каноническое преобразование

Уравнение Гамильтона — Якоби немедленно следует из того факта, что для любой производящей функции S(q, p',t) (пренебрегая индексами), уравнения движения не изменяются для H(q, p, t) и H'(q',p',t)

Новые уравнения движения становятся

Уравнение Гамильтона — Якоби появляется из специфической производящей функции S, которая делает H' тождественной нулю. В этом случае все его производные зануляются и

Таким образом, в штрихованной системе координат система совершенно стационарна в фазовом пространстве. Однако, мы еще не определили, при помощи какой производящей функции S достигается преобразование в штрихованную систему координат. Мы используем тот факт, что

Поскольку уравнение (1) даёт можно записать

что является уравнением Гамильтона — Якоби.

Решение

Уравнение Гамильтона — Якоби часто решают методом разделения переменных. Пусть некоторая координата (для определённости будем говорить о ) и соответствующий ей импульс входят в уравнение в форме

Тогда можно положить

где  — произвольная постоянная,  — обратная функция, и решать уравнение Гамильтона — Якоби уже с меньшим числом переменных. Если процесс можно продолжить по всем переменным, то решение уравнения примет вид

где  — произвольные постоянные,  — константа интегрирования. Напомним, что при этом является функцией конечной точки . Так как действие задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы, то его производные по координатам — это импульсы в новой системе координат, поэтому они должны сохраняться:

Совместно с уравнениями на импульсы это определяет движение системы.

См. также

• Гамильтонова механика
• Уравнения Гамильтона
• Квазиклассическое приближение

Литература

• Статья в Физической энциклопедии
• Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. 2-е издание М.: Наука, 1966.
• Добронравов В. В. Основы аналитической механики. М.: Высшая школа, 1976.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6
• Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1965.
• Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
• Парс Л. А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971.