13-10-2023
В математике, уравнение Пелля — диофантово уравнение вида
где — натуральное число, не являющееся квадратом.
Содержание |
Пара (x, y) является решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда норма числа в расширении поля равна единице:
В частности, решению соответствует единица кольца . Поэтому, а также в силу мультипликативности нормы, решения можно как «умножать», так и «делить»: решениям и можно поставить в соответствие решения
Кроме того, существование нетривиальных решений таким образом может быть выведено из теоремы Дирихле о единицах (утверждающей в данном случае, что ранг группы единиц кольца целых расширения равен 1).
Несложно видеть, что при больших x и y, являющихся решениями уравнения Пелля, отношение должно быть близким к . Оказывается, что верно и более сильное утверждение: такая дробь должна быть подходящей дробью для , и имеет место следующий критерий:
Числитель и знаменатель подходящей дроби для являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда номер этой подходящей дроби нечётен и сравним с по модулю P, где P — период цепной дроби для . |
Первые упоминания о таком уравнении были найдены в работах математиков Древней Греции и Древней Индии. Общий способ решения уравнения — так называемый «циклический метод» — присутствует в работах индийского математика XII века Брахмагупты, впрочем, без доказательства, что этот метод всегда приводит к решению. В общем виде задачу сформулировал французский математик Пьер Ферма, поэтому во Франции данное уравнение называется «уравнением Ферма». Современное же название уравнения возникло благодаря Леонарду Эйлеру, ошибочно приписавшему их авторство Джону Пеллю.
Уравнение Пелля.