30-09-2023
Условия Коши — Римана, называемые также условиями д’Аламбера — Эйлера — соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного .
Содержание |
Для того чтобы функция , определённая в некоторой области комплексной плоскости, была дифференцируема в точке как функция комплексного переменного , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части и были дифференцируемы в точке как функции вещественных переменных и и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:
Компактная запись:
Если условия Коши — Римана выполнены, то производная представима в любой из следующих форм:
По условию теоремы существует предел
не зависящий от способа стремления к нулю. Положим и рассмотрим выражение
Из существования предела комплексного выражения следует существование действительной и мнимой его частей. Поэтому в точке существуют частные производные по x функций u(x,y) и v(x,y) и имеет место формула
Полагая , находим
Сравнивая две последние формулы, убеждаемся в справедливости условий Коши-Римана.
По определению дифференцируемости, приращения функций и в окрестности точки могут быть записаны в виде
где функции и стремятся к нулю при , быстрее, чем и , , . Составим теперь разностное соотношение , где и преобразуем его к виду
Заметим, что при стремлении к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первые остаются неизменными. Поэтому существует предел , что и доказывает дифференцируемость функции в точке .
В полярной системе координат условия Коши-Римана выглядят так:
Компактная запись:
Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:
Тогда условия Коши-Римана связывают модуль и аргумент функции следующим образом:
Пусть функция дифференцируема. Рассмотрим в комплексной плоскости два семейства кривых (линии уровня).
Тогда условия Коши-Римана означают, что кривые первого семейства ортогональны кривым второго семейства.
Эти условия впервые появились в работе д'Аламбера (1752). В работе Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций.
Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 году. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 году.
Условия Коши — Римана.