Быстрота́ (англ. rapidity) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»).

Определение и свойства

Быстрота выражается формулой:

где

•  — быстрота,
•  — обычная скорость,
•  — скорость света,
•  — ареатангенс.

Ареатангенс (или гиперболический арктангенс) определён в области значений аргумента от −1 до +1; при

Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от до меняется от до . Иногда вводят также параметр быстроты  — безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой.

В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости:

при .

Фактор Лоренца

Связанная с быстротой часто используемая величина — фа́ктор Ло́ренца, или Ло́ренц-фа́ктор, названный по имени Г. А. Лоренца и определяемый как

Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты:

.

С увеличением скорости от 0 до Лоренц-фактор увеличивается от 1 до .

Аддитивность быстроты

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна , а скорость второй относительно первой равна (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе через . При малых (по сравнению со скоростью света ) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей . Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей

отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты . Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта равна сумме быстрот:

Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.

Геометрический смысл быстроты

В пространстве Минковского быстрота представляет собой угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта. В формализме Минковского () этот угол является мнимым.

В формализме гиперболических комплексных чисел (известных также как двойные числа или паракомплексные числа — вариант комплексных чисел, в которых мнимая единица j определяется соотношением j²=+1) точка в пространстве Минковского представляется паракомплексным числом z = ρe^jφ = ρ(ch φ + jsh φ), где φ и ρ — действительные. При этом угол φ является быстротой частицы, движущейся равномерно из начала отсчёта и проходящей через точку z, а ρ — интервалом от начала отсчёта до точки z (то есть собственным временем частицы, протекшим от прохождения через начало отсчёта до прохождения через z). Лоренц-преобразование определяется умножением пространственно-временных координат, выраженных паракомплексными числами, на паракомплексное число с единичным модулем λ(φ) = e^jφ. В результате все интервалы сохраняются, а паракомплексная плоскость Минковского поворачивается на угол φ. Два последовательных Лоренц-преобразования демонстрируют аддитивность быстроты:

λ(φ)·λ(θ) = e^jφ·e^jθ = e^j(φ+θ) = λ(φ+θ).

Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту

Релятивистский импульс:

где:

•  — масса,
•  — скорость света.

Полная энергия:

где  — энергия покоя.

Скорость в СТО:

Релятивистский эффект Доплера (если вектор скорости совпадает с направлением на источник):

,

где  — параметр красного смещения.

См. также

• Псевдобыстрота
• Лоренцевский буст

Литература

• Бабурова О. В. Релятивистская кинематика и геометрия Лобачевского // Соросовский образовательный журнал. — т. 8. — 2004. — с. 77—84.
• Прохоров А. М. Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 233. — 704 с.