Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.

Формулировка

Пусть  — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей . Обозначим через гауссову кривизну и через геодезическую кривизну . Тогда

где  — эйлерова характеристика .

В частности, если у нет границы, получаем

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

История

Частный случай этой формулы для геодезических треугольников был получен Гауссом^[1]. Бонне^[2] обобщил формулу на случай диска ограниченного произвольной кривой. В современной формулировке формула впервые появляется в работах Бляшке^[3].

Вариации и обобщения

• Формула Гаусса — Бонне естественно обобщается на области с кусочно-гладкой границей. Если в точке излома касательный вектор разворачивается на угол в сторону области (может быть положительное или отрицательное число), то формула обобщается до такой:
  • Для вывода этой формулы область нужно аппроксимировать областью, которая имеет сглаженные углы. Затем радиус закругления на углах направляем к нулю.

• Формула Гаусса — Бонне допускает обобщения на старшие размерности, см. обобщённая формула Гаусса — Бонне.

См. также

• Формула Гаусса

Ссылки

1. ↑ C.F.Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. Volume VI, pp. 99–146.
2. ↑ Bonnet, 1848 'Memoire sur la Theorie Generate des Surfaces', J. Ecole Poly technique 19 (1848) pp. 1—146
3. ↑ Wilhelm Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, 1921

• С. Е. Степанов, Теорема Гаусса—Бонне, СОЖ, 2000, No 9, с. 116—121.