02-08-2023
Фо́рмула Острогра́дского — математическая формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью:
то есть интеграл от дивергенции векторного поля , распространённый по некоторому объёму , равен потоку вектора через поверхность , ограничивающую данный объём.
Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности.
В работе Остроградского формула записана в следующем виде:
где и — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. В современной записи — элемент объёма, — элемент поверхности. — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.
Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.
Содержание |
Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830 гг.) на примере задач электродинамики[1].
В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году[1]. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от -кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации -кратного интеграла.
За рубежом формула называется формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса—Остроградского».
Формула Остроградского.