Функциона́л — числовая функция, заданная на векторном пространстве. Функционал берёт в качестве аргумента элемент линейного пространства (вектор) и возвращает в качестве результата скаляр. Довольно часто в роли линейного пространства выступает то или иное пространство функций (непрерывные функции на отрезке, интегрируемые функции на плоскости т. д. Поэтому, неформально говоря, функционал — это функция от функций, переводящая функцию в число (действительное или комплексное). Преобразования функций — операторы — составляют отдельную тему.

Пожалуй, самый простой функционал — проекция (сопоставление вектору одной из его координат).

Отображение, переводящее вектор в его норму, является выпуклым положительно определённым функционалом, это один из самых распространённых функционалов. В физике часто используется действие — тоже функционал.

Задачи оптимизации формулируются на языке функционалов: найти решение (уравнения, системы уравнений, системы ограничений, системы неравенств, системы включений и т. п.), доставляющее экстремум (минимум, максимум) заданному функционалу. Функционалы также рассматриваются в вариационном анализе.

Функционал называется непрерывным на линии (в точке) y₀(x), если для любого ε>0 существует δ(ε) такое, что для любых дельта-близких ||y(x)-y₀(x)||<δ |I(y(x))-I(y₀(x))|<ε.

Выбор функционального пространства, задание подходящего функционала и решение соответствующей задачи оптимизации составляют суть функционального анализа. Поиск наилучшего приближения функций на заданном функциональном пространстве — важнейшая задача функционального анализа.

Функционал в линейном пространстве

Позднее от понятия традиционного функционала отделилось понятие функционала в линейном пространстве, как функции, отображающей элементы линейного пространства в его пространство скаляров. Зачастую (например, когда пространство функций является линейным пространством) эти две разновидности понятия «функционал» совпадают, в то же время они не тождественны и не поглощают друг друга.

Особенно важной разновидностью функционалов являются линейные функционалы.

Виды функционалов

Выделяют следующие специальные виды функционалов:

• интегральный:

• терминальный:

• смешанный (функционал Больца):

Примеры

• норма функции
• значение функции в фиксированной точке
• максимум или минимум функции на отрезке
• величина интеграла от функции
• длина графика вещественной функции вещественной переменной
• длина кривой, параметрически заданной векторной функцией вещественного аргумента (длина пути)
• площадь поверхности, параметрически заданной векторной функцией двух вещественных аргументов
• скалярное произведение на фиксированный вектор
• действие в механике
• функционал энергии

См. также

• Оператор
• Линейный функционал