Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.

Определение

Для данной матрицы , , где Е — единичная матрица, является многочленом от , который называется характеристическим многочленом матрицы A (иногда также "вековым уравнением" (secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение имеет не нулевое решение, то , значит матрица вырождена и ее определитель равен нулю.

Связанные определения

• Матрицу называют характеристической матрицей матрицы А.
• Уравнение называют характеристическим уравнением матрицы A.

Свойства

• Для матрицы , характеристический многочлен имеет степень .
• Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
• Теорема Гамильтона — Кэли: если — характеристический многочлен матрицы , то .
• Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: .
• Если A и B — две -матрицы, то . В частности, отсюда вытекает, что tr(AB)=tr(BA) и det(AB)=det(BA).
• В более общем виде, если A — -матрица, а B — -матрица, причем m<n, так что AB и BA — квадратные матрицы размеров m и n соответственно, то

.

Ссылки

• В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина Высшая математика. Линейная алгебра. — Ивановский государственный энергетический университет.