Центроид — точка пересечения медиан в треугольнике. Центроид традиционно обозначается латинской буквой .
Свойства
В треугольнике
- Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
- Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
- Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой массой также находится в центроиде.
- В частности, если — центроид треугольника то для любой точки O верно, что
- .
- точка пересечения медиан является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника имеет наименьшее значение (теорема Лейбница).
История
Факт, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.
Вариации и обобщения
В четырёхугольнике
Центроид произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника (и делит их пополам).
Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставишимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины
|
Литература
См. также
