Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел , впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:

, где  — биномиальный коэффициент, то есть .

Рекуррентная формула

Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:

Свойства

• Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме , равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
• Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли при :

• Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например:
  • Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:

    ,

  • ,
  • .
• Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при четных s = 2k:

Отсюда следует:

для всех n.

Литература

• Абрамович В. Числа Бернулли // Квант. — 1974. — № 6. — С. 10-14.

Ссылки

• Генератор Чисел Бернули