14-06-2023
Линейные электронные фильтры |
---|
Фильтр Баттерворта |
Фильтр Чебышева |
Эллиптический фильтр |
Фильтр Бесселя |
Фильтр Гаусса |
Фильтр Лежандра |
Фильтр Габора |
Править |
Эллиптический фильтр (Фильтр Кауэра) — электронный фильтр, характерной особенностью которого является пульсации амплитудно-частотной характеристики как в полосе пропускания, так и полосе подавления. Величина пульсаций в каждой из полос независима друг от друга. Другой отличительной особенностью такого фильтра является очень крутой спад амплитудной характеристики, поэтому с помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров.
Если пульсации в полосе подавления равны нулю, то эллиптический фильтр становится фильтром Чебышёва I рода. Если пульсации равны нулю в полосе пропускания, то фильтр становится фильтром Чебышёва II рода. Если же пульсации отсутствуют на всей амплитудной характеристике, то фильтр становится фильтром Баттерворта.
Амплитудная характеристика эллиптического фильтра низких частот является функцией круговой частоты ω и задаётся следующим выражением:
где Rn — рациональная эллиптическая функция n-го порядка и
Значение показателя пульсаций определяет пульсации в полосе пропускания, пульсации же в полосе подавления зависят как от показателя пульсаций, так и от показателя селективности.
Содержание |
Нули модуля АЧХ совпадают с полюсами дробно-рациональной эллиптической функции.
Полюса эллиптического фильтра могут быть определены так же, как и полюса фильтра Чебышёва I рода. Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса эллиптического фильтра будут нулями знаменателя амплитудной характеристики. Используя комплексную частоту получим:
Пусть , где cd — эллиптическая косинус-функция Якоби. Тогда, используя определение эллиптической дробно-рациональной функции, получим:
где and . Разрешив относительно w
где значения обратной cd-функции сделаны явными при помощи целого индекса m.
Полюса эллиптической функции в таком случае:
Как и в случае многочленов Чебышёва, это можно выразить в явной комплексной форме [1]
где — функция от , а и — нули эллиптической функции. Функция определена для всех n в смысле эллиптической функции Якоби. Для порядков 1 и 2 имеем
где
Рекурсивные свойства эллиптических функций можно использовать для построения выражений более высокого порядка для :
где
См.[2] Эллиптические фильтры обычно определяются путём задания определённой величины пульсаций в полосе пропускания, полосе подавления и крутизной амплитудной характеристики. Эти характеристики являются определяющими для задания минимального порядка фильтра. Другой подход к проектирования эллиптического фильтра заключается в определении чувствительности амплитудной характеристики аналогового фильтра к значениям его электронных компонент. Эта чувствительность обратно пропорциональна специальному показателю (добротности) полюсов передаточной функции фильтра. Добротностью полюса определяется как:
и является мерой влияния данного полюса на общую амплитудную характеристику. Для эллиптического фильтра заданного порядка существует связь между показателем пульсаций и фактором селективности, который минимизирует добротность всех полюсов передаточной функции:
Это приводит к существованию фильтра, наименее чувствительного к изменению параметров компонент фильтра, однако при таком способе проектирования теряется возможность независимо назначать величину пульсаций в полосе пропускания и полосе подавления. Для таких фильтров при увеличении порядка пульсации как в полосе подавления, так и в полосе пропускания уменьшаются, а крутизна характеристики вокруг частоты среза увеличивается. При расчёте фильтра с минимальной добротностью необходимо учитывать, что порядок такого фильтра будет больше, чем при обычном методе расчёта. График модуля амплитудной характеристики будет выглядеть практически так же, как и раньше, однако полюса будут располагаться не по эллипсу, а по кругу, причём в отличие от фильтра Баттерворта, полюса которого также располагаются по кругу, расстояние между ними будет неодинаковым, а на мнимой оси будут располагаться нули.
Ниже представлены графики амплитудно-частотных характеристик некоторых наиболее распространённых линейных электронных фильтров с одинаковым количеством коэффициентов:
Как следует из графика эллиптический фильтр имеет наибольшую крутизну характеристики, однако он также обладает и значительными пульсациями как в полосе пропускания, так и в полосе подавления.
Эллиптический фильтр.