11-08-2023
0,(9) или 0,999… () («ноль и девять в периоде») — периодическая десятичная дробь, представляющее число 1. Другими словами,
У этого равенства существует несколько доказательств, основанных на теории пределов.
Содержание |
Часто рациональная дробь может быть представлена десятичной только с бесконечным хвостом. Используя деление столбиком, деление двух целых чисел, например 1⁄3 приводит к бесконечному 0,333… в десятичной записи, где цифры повторяются бесконечно. Таким образом легко доказывается равенство 0,999… = 1. Умножение 3 на 3 даёт 9 в каждом разряде, поэтому 3 × 0,333… эквивалентно 0,999…. И 3 × 1⁄3 эквивалентно 1, поэтому 0,999… = 1[1].
Когда число в десятичной записи умножается на 10, то цифры не меняются, но каждый разряд передвигается на одну цифру влево. Следовательно, 10 × 0,999… = 9,999…, что на 9 больше, чем исходное число. Чтобы это увидеть, отнимем 0,999… от 9,999…, каждая цифра после запятой исчезает, так как 9 — 9 = 0 для каждого разряда. Последний шаг использует правила алгебры:
Число 0,999… в общем виде можно записать как
В соответствии с определением позиционной системы счисления, посчитаем сумму ряда:
Для 0,999… применим теорему о сумме сходящейся геометрической прогрессии[2]:
Радиус сходимости (знаменатель прогрессии) , и таким образом:
Такое доказательство (об эквивалентности 10 и 9,999…) было опубликовано в 1770 году Леонардом Эйлером в издании Элементы алгебры (англ.)[3].
Формула суммы сходящейся геометрической прогрессии была известна до Эйлера. Выпущенный в 1811 году учебник An Introduction to Algebra также использует геометрическую прогрессию для числа 0,(9)[4]. В XIX веке реакция на такое правило суммирования вылилась в утверждение: сумма ряда должна быть пределом последовательности частичных сумм[5].
Последовательность (x0, x1, x2, …) имеет предел x тогда и только тогда, когда |x − xn| бесконечна мала с ростом n. Утверждение 0.999… = 1 может быть интерпретировано как предел[6]:
Последний шаг — делается на основании того, что вещественные числа удовлетворяют аксиоме Архимеда.
Существует много применений, например в элементарной теории чисел. В 1802 году H. Goodwin опубликовал наблюдение, обнаруженное им при делении на простые числа. Например:
Миди в 1836 году обобщил данные наблюдения до теоремы Миди (англ.).
Новостная колонка The Straight Dope доказывает 0,999… с помощью 1⁄3 и пределов, говоря о непонимании,
Низший примат в нас упирается, говоря: ,999~ на самом деле представляет не число, а процесс. Чтобы найти число мы должны остановить этот процесс. И в этот момент равенство ,999~ = 1 просто разваливается. Чушь.[7]
Вопрос о 0,999… стал такой популярной темой в первые семь лет форумов Battle.net, что компания выпустила «пресс-релиз» на День дураков 2004 года:
Мы очень рады закрыть книгу на этой теме раз и на всегда. Мы были свидетелями страдания и беспокойства насчёт того, ,999~ равняется 1 или же нет, и мы с гордостью представляем следующее доказательство, решаюшее эту проблему для наших покупателей[8].
Далее следуют доказательства, основанные на пределах и умножении на 10.
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
0,(9).