Задача Шту́рма — Лиуви́лля состоит в отыскании нетривиальных (т.е. отличных от тождественного нуля) решений на промежутке однородного уравнения

удовлетворяющих однородным граничным условиям

и значений параметра , при которых такие удовлетворяющие указанным граничным условиям решения существуют.

Оператор здесь — это действующий на функцию линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

(оператор Штурма — Лиувилля),  — вещественный аргумент.

Функции предполагаются непрерывными на , кроме того функции положительны на .

Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения , при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).

Свойства

Данная задача обладает рядом свойств:

• Существует бесконечное счетное множество собственных значений и соответствующая им бесконечная последовательность собственных функций. Все собственные значения можно занумеровать в порядке возрастания их абсолютной величины
• Все собственные значения задачи действительные.
• Каждому собственному значению соответствует с точностью до постоянного множителя только одна собственная функция.
• Рассмотрение комплекснозначных собственных функций не обогащает систему всех собственных функций, но добавляет в неё линейно зависимые элементы.
• В случае граничных условий и при выполнении условия все собственные значения краевой задачи положительны .
• Собственные функции образуют на ортогональную с весом систему :

• Имеет место Теорема Стеклова.

Литература

• А.М. Ахтямов, В.А. Садовничий, Султанаев Я.Т. Обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. - М.: Изд-во Московского университета, 2009.