Конформно-евклидова модель или модель Пуанкаре́ — модель пространства Лобачевского.

Существуют разновидности модели — в круге (стереографическая проекция) и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве — для стереометрии Лобачевского, соответственно.

Конформно-евклидова модель примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами, то есть эта модель конформна^[1] в отличие от проективной модели, в которой определение углов производится гораздо сложнее.

История

Эта модель была предложена Эудженио Бельтрами, наряду с проективной моделью и моделью псевдосферы.^[2] Метрика в конформно-евклидовой модели появляется уже в знаменитой лекции Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», но связь с геометрией Лобачевского обнаружена именно Бельтрами. Впоследствии Анри Пуанкаре обнаружил связи этой модели с задачами теории функций комплексного переменного, что дало одно из первых серьёзных приложений геометрии Лобачевского.

Модели в круге и в шаре

За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль геодезических прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей ${\displaystyle (a,\;b,\;b')}$, перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Метрикой ${\displaystyle ds}$ плоскости Лобачевского в Конформно-евклидовой модели в единичном круге является:

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}(dx^{2}+dy^{2}),}$

где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — оси абсцисс и ординат, соответственно^[3].

Аналогично, для Конформно-евклидовой модели в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.

Модели на полуплоскости и в полупространстве

За плоскость Лобачевского принимается верхняя полуплоскость. Прямая, ограничивающая полуплоскость (то есть ось абсцисс), называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этой полуплоскости полуокружности с центрами на абсолюте и начинающиеся на абсолюте перпендикулярные ему лучи (то есть вертикальные лучи). Роль движений — преобразования, получаемые композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту.

Метрика ${\displaystyle ds}$ плоскости Лобачевского в конформно-евклидовой модели в верхней полуплоскости имеет вид: ${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{v^{2}}}(du^{2}+dv^{2})}$^[3], где u и v — прямоугольные координаты, соответственно параллельно и перпендикулярно абсолюту.

Соответственно, в конформно-евклидовой модели в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство.

См. также

• Теорема Пика — инвариантная форма леммы Шварца, использующая расстояния в конформно-евклидовой модели.

Примечания