Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная.

Существуют три различных варианта определения многоугольника:

• Плоская замкнутая ломаная — самый общий случай;
• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений — простой многоугольник;
• Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений.

В любом случае, вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.

Связанные определения

• Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
• Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
• Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
• Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от -180° до 180°.

Виды многоугольников

• Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.
  • Многоугольник с n вершинами называется n-угольником.

• Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.

• Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:
  1. Он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);
  2. Он является пересечением (то есть общей частью) нескольких полуплоскостей;
  3. Каждая диагональ лежит внутри многоугольника;
  4. Любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.

Если некоторые внутренние углы равны 180°, а остальные меньше, то многоугольник называется слабовыпуклым.

• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.
• Не выпуклый многоугольник у которого равны все стороны и все углы, а вершины совпадают с вершинами некоторого правильного многоугольника называется правильным звёздчатым многоугольником. Такой многоугольник имеет самопересечения, например, пентаграмма и гексаграмма.

• Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.

• Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Свойства

• Сумма внутренних углов плоского выпуклого -угольника равна .
• Число диагоналей всякого -угольника равно .

Площадь

• Пусть последовательность координат соседних друг другу вершин -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле:

, где .

• С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость или площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь .

Вариации и обобщения

• Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, поверхность которая составлена из многоугольников или тело ей ограниченное.
• Выпуклый многоугольник
• Правильный многоугольник