Построения с помощью циркуля и линейки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:

• Линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины.
• Циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор.

Пример

Задача на бисекцию. С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:

• Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.
• Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).
• По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q.
• Находим искомую середину отрезка AB - точку пересечения AB и PQ.

Формальное определение

В задачах на построение рассматриваются множество всех точек плоскости, множество всех прямых плоскости и множество всех окружностей плоскости, над которыми допускаются следующие операции:

1. Выделить точку из множества всех точек:
   1. произвольную точку
   2. произвольную точку на заданной прямой
   3. произвольную точку на заданной окружности
   4. точку пересечения двух заданных прямых
   5. точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности
   6. точки пересечения/касания двух заданных окружностей
2. «С помощью линейки» выделить прямую из множества всех прямых:
   1. произвольную прямую
   2. произвольную прямую, проходящую через заданную точку
   3. прямую, проходящую через две заданных точки
3. «С помощью циркуля» выделить окружность из множества всех окружностей:
   1. произвольную окружность
   2. произвольную окружность с центром в заданной точке
   3. произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками
   4. окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками

В условиях задачи задается некоторое множество точек. Требуется с помощью конечного количества операций из числа перечисленных выше допустимых операций построить другое множество точек, находящееся в заданном соотношении с исходным множеством.

Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

1. Описание способа построения заданного множества.
2. Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.
3. Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.

Известные задачи

• Задача Аполлония о построении окружности, касающейся трех заданных окружностей. Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений.
• Задача Брахмагупты о построении вписанного четырехугольника по четырем его сторонам.

Построение правильных многоугольников

Античным геометрам были известны способы построения правильных n-угольников для , , и .

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников при , где — различные простые числа Ферма. В 1836 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Неразрешимые задачи

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в античности:

• Трисекция угла — разбить произвольный угол на три равные части.
• Удвоение куба — построить ребро куба вдвое большего по объёму, чем данный куб
• Квадратура круга — построить квадрат, равный по площади данному кругу.

Только в XIX веке было доказано, что все три задачи неразрешимы при использовании только циркуля и линейки. Вопрос возможности построения полностью решён алгебраическими методами, основанными на теории Галуа.

• Другая известная неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача — построение треугольника по трём заданным длинам биссектрис.^[1] Причём эта задача остаётся неразрешимой даже при наличии трисектора.^[2]

Возможные и невозможные построения

Все построения являются не чем иным, как решениями какого-либо уравнения, причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определенного типа. В рамках вышеописанных требований возможны следующие построения:

• Построение решений линейных уравнений.
• Построение решений квадратных уравнений.

Иначе говоря, возможно построить лишь числа равные арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (длин отрезков). Например,

• Если задан только отрезок длины , то невозможно представить в таком виде (отсюда невозможность удвоения куба).
• Возможность построить правильный 17-угольник следует из выражения на косинус угла:

Вариации и обобщения

• Построения с помощью одного циркуля. По теореме Мора — Маскерони с помощью одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.
• Построения с помощью одной линейки. Легко заметить, что с помощью одной линейки можно проводить только проективно-инвариантные построения. В частности, невозможно даже разбить отрезок на две равные части, либо найти центр нарисованной окружности. Но при наличии на плоскости заранее проведённой окружности с отмеченным центром с помощью линейки можно провести те же построения, что и циркулем и линейкой (теорема Понселе — Штейнера (англ.)), 1833.

  Если на линейке есть две засечки, то построения с помощью неё эквивалентны построениям с помощью циркуля и линейки (важный шаг в доказательстве этого сделал Наполеон).

• Построения с помощью инструментов с ограниченными возможностями. В задачах такого рода инструменты (в противоположность классической постановке задачи) считаются не идеальными, а ограниченными: прямую через две точки с помощью линейки можно провести только при условии, что расстояние между этими точками не превышает некоторой величины; радиус окружностей, проводимых с помощью циркуля, может быть ограничен сверху, снизу или одновременно и сверху, и снизу.
• Построения с помощью плоского оригами. см. правила Худзита

Интересные факты

• Узор на флаге Ирана описывается как построение с помощью циркуля и линейки^[3].

См. также

• Программы динамической геометрии позволяют выполнять построения с помощью циркуля и линейки на компьютере.

Примечания