Теорема Белого об алгебраических кривых утверждает, что любая неособая алгебраическая кривая C, определённая алгебраическими коэффициентами, представляет компактную риманову поверхность^[en], которая является разветвлённым покрытием^[en] сферы Римана, с ветвлением лишь в трёх точках.

Это результат Геннадия Белого^[en], который он получил в 1979 году. В то время это оказалось сюрпризом и побудило Гротендика развивать теорию детских рисунков^[en], которая описывает с помощью комбинаторики неособые алгебраические кривые над алгебраическими числами.

Факторы верхней половины плоскости

Из теоремы следует, что рассматриваемая риманова поверхность может пониматься как

H/Γ,

где H — верхняя полуплоскость^[en], а Γ — подгруппа с конечным индексом в модулярной группе, компактифицированная путём добавления каспов. Поскольку модулярная группа имеет неконгруэнтные подгруппы^[en], отсюда не вытекает, что любая такая кривая является модулярной кривой.

Функции Белого

Функция Белого — это голоморфное отображение из компактной римановой поверхности S в комплексную проективную прямую P¹(C), разветвляющееся лишь над тремя точками, которые после преобразования Мёбиуса могут считаться точками ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$. Функции Белого можно описать комбинаторно с помощью детских рисунков^[en].

Функции Белого и детские рисунки, но не теорема Белого, датируются ещё работами Феликса Клейна, он использовал их в своей статье^[1] для изучения 11-кратного накрытия комплексной проективной прямой с группой монодромии^[en] PSL(2,11)^[2].

Приложения

Теорема Белого является теоремой существования функций Белого, и активно используется в обратной задаче теории Галуа^[en].

Примечания

Литература