Уравнение Фоккера — Планка — одно из стохастических дифференциальных уравнений, описывает временну́ю эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц в процессах, где важна стохастическая природа явления. Названо в честь нидерландского и немецкого физиков Адриана Фоккера и Макса Планка, также известно как прямое уравнение Колмогорова. Может быть обобщено на другие измеримые параметры (размер (в теории коалесценции), масса и т. д.).

Определение

Впервые уравнение было использовано для статистического описания броуновского движения частиц в воде. Хотя броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены численно методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики, задачу в такой постановке часто трудно решить аналитически. И, вместо сложных численных схем, можно ввести функцию плотности вероятности , описывающую вероятность того, что частица имеет скорость в интервале , если в момент времени 0 она имела начальную скорость , и записать для уравнения Фоккера — Планка.

Общая форма уравнения Фоккера — Планка для переменных:

где  — вектор сноса и  — тензор диффузии, причём диффузия вызвана действием сил стохастической природы.

Связь со стохастическими дифференциальными уравнениями

Уравнение Фоккера — Планка может быть использовано для расчёта плотности вероятности в стохастических дифференциальных уравнениях. Рассмотрим следующее стохастическое дифференциальное уравнение

где  — функция состояния системы, а  — стандартное -мерное броуновское движение. Если начальное распределение задано как , то плотность вероятности состояния системы является решением уравнения Фоккера — Планка со следующими выражениями для сноса и диффузии соответственно:

Пример

Стандартное скалярное уравнение броуновского движения генерируется следующим стохастическим дифференциальным уравнением:

Здесь скорость сноса равна нулю и коэффициент диффузии равен 1/2, следовательно, соответствующее уравнение Фоккера — Планка выглядит так:

это простейшая форма одномерного уравнения диффузии (теплопереноса).

Уравнение Фоккера — Планка в одномерном случае

В одномерном случае УФП приобретает вид:

УФП справедливо для условной плотности вероятности:

(то есть значение функции вероятностно попадает в плоскость, образованную пространственной осью и временно́й осью , в интервалы и соответственно) при любом начальном значении и и начальном условии , где  — функция Дирака.

Это условие гласит, что в один и тот же момент времени функция претерпевает скачок. Если пространственные координаты равны, то функция устремляется в бесконечность. Поэтому, в силу ограниченности функции, необходимо использовать определение единовременной плотности вероятности Тогда, УФП справедливо для вероятности с начальным условием , которое менее сингулярно, чем . Стохастический процесс, описываемый условной вероятностью, удовлетворяющий УФП, эквивалентен СДУ Ито

и что эти два описания должны рассматриваться как взаимно дополняющие друг друга.

Вывод

Первый согласованный вывод уравнения Фоккера — Планка на основе точной микроскопической динамики для классических и квантовых систем выполнен^[1] Н. Н. Боголюбовым и Н. М. Крыловым^[2] (переиздано в^[3]).

См. также

• Цепочка уравнений Боголюбова
• Уравнение Лиувилля
• Уравнение Больцмана
• Уравнение Власова
• Уравнение Колмогорова — Чепмена
• Уравнения Навье — Стокса

Источники

• Risken H. The Fokker — Planck Equation: Methods of Solutions and Applications. — 2nd ed. — Springer, 1984. — 452 p. — ISBN 3-540-61530-X.
• Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979. — 528 с. — («Теоретическая физика», том X). — 50 000 экз.