22-08-2023
Уравне́ние движе́ния (уравнения движения) — уравнение или система уравнений, задающие закон эволюции механической или сходной динамической системы (например, поля) во времени[1].
Эволюция физической системы однозначно определяется уравнениями движения и начальными условиями.
Содержание |
В уравнения движения динамической системы входит полный набор переменных, определяющий состояние этой системы (например, все координаты и скорости, или все координаты и импульсы), а также их производные по времени, что позволяет, зная такой набор в некий момент времени, вычислить его для момента времени, отстоящего на малый (бесконечно малый) промежуток времени. В принципе, повторяя этот процесс вычисления последовательно большое (бесконечное) количество раз, можно вычислить значение всех этих переменных для момента времени, как угодно[2] далеко отстоящего от начального. С помощью такого процесса можно (выбрав достаточно малым, но конечным) получить приближенное численное решение уравнений движения. Однако чтобы получить точное[3] решение, приходится применять другие математические методы.
В современной квантовой теории термин уравнение движения нередко используется для обозначения именно только классических уравнений движения, то есть как раз для различения классического и квантового случая. В таком употреблении, например, слова «решение уравнений движения» означают именно классическое (неквантовое) приближение, которое может затем так или иначе использоваться при получении квантового результата или для сравнения с ним. В этом смысле уравнения эволюции волновой функции не называют уравнениями движения, например упомянутые ниже уравнение Шредингера и уравнение Дирака нельзя назвать уравнением движения электрона. Определенную ясность тут вносит дополнение, указывающее на то, об уравнении движения чего идет речь: так, хотя уравнение Дирака нельзя назвать уравнением движения электрона, его можно, даже в смысле, обсуждаемом в этом абзаце, назвать классическим уравнением движения спинорного поля.
Рассмотрим в рамках ньютоновской механики точечную частицу, способную перемещаться лишь по одной прямой (например, бусину, способную скользить по гладкой спице). Будем описывать положение частицы на прямой единственным числом — координатой — x. Пусть на эту частицу действует (например, со стороны некоторой пружины) сила f, зависящая от положения частицы по закону Гука, то есть, выбрав удобное начало отсчета x, можем записать f = — k x. В таком случае, учитывая второй закон Ньютона и кинематические соотношения, обозначив скорость как v, будем иметь следующие уравнения движения для нашей системы:
или, исключая v из системы:
Подставив начальную координату и скорость в правые части этих уравнений, и заменив бесконечно малое dt на малое, но конечное, , и переписав приближенно в соответствии с этим уравнения в первой форме — в виде величина() = величина(t) + производная·, получим:
и переходя от предыдущего момента к следующему (каждый раз время растет на ), можем получить численное решение этих уравнений движения в виде таблицы , приближенно представляющей зависимость x(t) и v(t) от времени (с шагом ). Можно увидеть, что, если было выбрано достаточно малым, что x(t) и v(t) очень близко совпадают с функцией .
Использовав для догадки это приближенное решение или какие-то другие соображения, можем, если мы уже подозреваем, каким должно быть решение, просто подставить
где — просто постоянные, в точные уравнения движения, взяв нужные производные по времени от этого выражения. При этом мы смоожем убедиться, что нетрудно подобрать конкретные значения , чтобы равенство при этой подстановке выполнялось, а также найти необходимые для этого значения (оказывается, и могут быть любыми, а . Мы получили таким образом точное решение уравнений движения, да еще и общее точное решение (то есть подходящее для любых начальных условий, в чём нетрудно убедиться).
Теперь, имея это общее точное решение, мы можем выбрать из множества общих решений (с разными и ) частное решение, удовлетворяющее конкретным начальным условиям. Так мы решим задачу для заданного уравнения движения и начальных условий.
Так иллюстрируется понятие уравнения движения (уравнений движения) и их решения на конкретном простом примере.
Уравнение движения.