Абелева или коммутативная группа есть группа, в которой групповая операция является коммутативной; то есть группа абелева если для любых двух элементов .
Групповая операция в абелевых группах обычно называется «сложением» и обозначается знаком .
Название дано в честь норвежского математика Абеля за его вклад в исследование групп подстановок.
Примеры
- Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
- Любая циклическая группа . Действительно, для любых и верно, что
- .
- Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению. В том числе и вещественные числа с операцией сложения.
- Обратимые элементы коммутативного кольца, в частности, ненулевые элементы любого поля, образуют абелеву группу по умножению. Например, вещественные числа, не равные нулю, с операцией умножения.
Связанные определения
- По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность пространства над полем рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.
Свойства
- Конечнопорождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
- Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
- Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть — натуральное число, а — элемент коммутативной группы с операцией, обозначаемой +, тогда можно определить как ( раз) и .
- Множество гомоморфизмов всех групповых гомоморфизмов из в само является абелевой группой. Действительно, пусть — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма , заданная как , тоже является гомоморфизмом (это неверно, если некоммутативная группа).
Конечные абелевы группы
Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. изоморфно прямой сумме и тогда и только тогда, когда и взаимно просты.
Следовательно, можно записать абелеву группу в форме прямой суммы
двумя различными способами:
- Где числа степени простых
- Где делит , которое делит , и так далее до .
Например, может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: . То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.
Вариации и обобщения
- Дифференциальной группой называется абелева группа , в которой задан такой эндоморфизм , что . Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра — циклами, элементы образа — границами.
См. также
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7