19-10-2023
Символ Ле́ви-Чиви́ты — математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты. Обозначается . Здесь приведён символ для трёхмерного пространства, для других размерностей меняется количество индексов (см.ниже).
Другие названия:
Содержание |
В трёхмерном пространстве, в правом ортонормированном базисе (или вообще в правом базисе с единичным определителем метрики) символ Леви-Чивиты определяется следующим образом:
то есть для чётной перестановки P(i, j, k) равен 1 (для троек (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2)), для нечётной перестановки P(i, j, k) равен −1 (для троек (3,2,1), (1,3,2), (2,1,3)), а в остальных случаях равен нулю, при повторении. Для компонент в левом базисе берутся противоположные числа.
Для общего случая (произвольных косоугольных координат) это определение обычно меняется на
Для компонент в левом базисе также берутся противоположные числа.
где — определитель матрицы метрического тензора , представляющий квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базис.
Такой набор компонент представляет тензор (точнее — псевдотензор).
При этом, конечно, ,будет таким же, но с заменой на .
может определяться также как смешанное произведение векторов базиса, в котором символ применяется:
Это определение для любого, правого или левого базиса, так как разница знака для левых и правых базисов заключена в смешанном произведении. Абсолютная величина каждой ненулевой компоненты равна объему параллелепипеда, натянутого на базис . Тензор, как и положено, антисимметричен по любой паре индексов. Определение эквивалентно приведенным выше.
Как видно уже из определения через смешанное произведение, символ Леви-Чивиты связан с ориентированным объемом и ориентированной площадью, представленной как вектор.
В трехмерном (евклидовом) пространстве смешанное произведение трех векторов
— это ориентированный объём (псевдоскаляр, модуль которого равен объёму, а знак зависит от ориентации тройки векторов) параллелепипеда, натянутого на три вектора , и
Векторное произведение двух векторов
— это ориентированная площадь параллелограмма, стороны которого — векторы и , представленная псевдовектором, длина которого равна площади, а направление — ортогонально к плоскости параллелограмма.
Этот смысл сохраняется для любой размерности пространства n, если, конечно, брать с соответствующим количеством индексов, под объёмом понимать n-мерный объем, а под площадью — (n−1)-мерную (гипер-)площадь. При этом, естественно, в соответствующую формулу входит n и (n−1) векторов — сомножителей. Например, для 4-мерного (евклидова) пространства:
(Везде здесь в случае ортонормированного базиса все индексы можно просто переписать как нижние.)
Символ Леви-Чивиты может быть легко обобщён на любое количество измерений больше единицы, если пользоваться определением через чётность перестановок индексов:
если есть чётная перестановка набора | |
если есть нечётная перестановка набора | |
, если хотя бы два индекса совпадают. |
То есть он равен знаку (signum) перестановки, умноженному на корень из определителя метрики в случае, когда индексы принимают значения, реализующие перестановку набора (1,2,3,…,n), а в остальных случаях ноль. (Как видим, количество индексов равно размерности пространства n).
Можно показать, что для n измерений выполняются свойства, аналогичные трёхмерным:
- что связано с тем, что существует n! перестановок набора (1,2,3,…,n), а следовательно столько же ненулевых компонент ε с n индексами.
После раскрытия определителя появляется множитель n! и производятся упрощения в соответствующих символах Кронекера.
что является по сути просто переписанным с помощью этого символа определением определителя (одним из самых распространенных). Здесь базис подразумевается стандартным, и ненулевые компоненты принимают тут значения ±1.
где - его компоненты, а - базисные векторы. (Здесь для краткости записано выражение для ковариантных компонент и разложение в дуальном базисе).
В безындексной тензорной записи символ Леви-Чивиты заменяется оператором дуальности, называемым звёздочка Ходжа, или просто оператор звездочка:
(для произвольного тензора учитывая эйнштейновское правило суммирования).
Абсолютно кососимметричный объект.