Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага или разности прогрессии):

Любой член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Примеры

•  — арифметическая прогрессия из десяти членов с шагом 3
• 1, −1, −3, −5, −7  — арифметическая прогрессия с шагом −2
•  — арифметическая прогрессия с шагом 0

Свойства

1. Любой член арифметической прогрессии является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:
       .
   • Обратное также верно, то есть это свойство является признаком арифметической прогрессии.
   • Доказательство:

     аналогично

2. Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами
   • Доказательство:
     • Через сумму:

     • По индукции:

3. Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:

4. Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:

5. Произведение членов арифметической прогрессии выражается через Гамма-функцию.

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией 2-го порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36...,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11...

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

См. также

• Геометрическая прогрессия

Ссылки

• Арифметическая прогрессия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.