Атомарная функция^[1] — финитное решение функционально-дифференциального уравнения вида

где  — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами; коэффициенты , причём .

Атомарная функция up(x)

Простейшая атомарная функция является финитным бесконечно-дифференцируемым решением функционально-дифференциального уравнения

с носителем

Преобразование Фурье имеет вид

где — sinc-функция.

Функция — чётная, возрастает на интервале , убывает на интервале и ограничивает единичную площадь. Кроме того, при . Таким образом, целочисленные сдвиги образуют следующее разбиение единицы:

Значения в двоично-рациональных точках вида — рациональные числа. Функция неаналитична ни в одной точке своего носителя. Для ее вычисления нельзя использовать ряд Тейлора, а существуют быстросходящиеся ряды специального вида. Используются также разложения в ряд Фурье, ряды по полиномам Лежандра, Бернштейна и др.

Атомарные функции бесконечно дробимы, то есть представимы в виде линейной комбинации сдвигов-сжатий финитных функций с произвольной длиной носителя (дробных компонент), и могут рассматриваться как аналоги B-сплайнов бесконечной гладкости, а также идейные предшественники вейвлетов. Хорошие аппроксимативные свойства функции основаны на том факте, что с помощью линейной комбинации сдвигов-сжатий можно представить алгебраический многочлен любой степени.

Атомарные функции h_a(x), совершенные сплайны

Атомарные функции (при ) являются обобщением функции . Соответствующие функционально-дифференциальные уравнения имеют вид:

Таким образом, Преобразование Фурье имеет вид

следовательно, функции есть бесконечнократные свёртки характеристических функций интервалов (прямоугольных функций), ширины которых убывают в геометрической прогрессии. Если в последнем выражении ограничиться конечным числом членов бесконечного произведения, получим преобразование Фурье совершенных сплайнов с рекуррентным функционально-дифференциальным выражением

Обобщенная теорема Котельникова

Нули преобразований Фурье функций расположены регулярным образом в точках . В связи с этим любую непрерывную функцию с финитным спектром можно разложить в ряд

где

Данная формула обобщает известную теорему Котельникова, и была предложена Е. Г. Зелкиным, В. Ф. Кравченко и М. А. Басарабом^[2].

История и развитие

Атомарные функции впервые были введены в работе^[3]. Обстоятельства появления функции связаны с проблемой, поставленной В. Л. Рвачёвым и решенной В. А. Рвачёвым: найти финитную дифференцируемую функцию, имеющую колоколообразный вид, такую, что ее производная будет составлена, в свою очередь, из двух колоколообразных функций, каждая из которых представляет собой сдвинутую и сжатую копию исходной функции с точностью до масштабного коэффициента.

Обзор ранних работ по теории атомарных функций приведен в^[4]. В настоящее время атомарные функции находят широкое применение в теории аппроксимации, численном анализе, цифровой обработке сигналов, вейвлет-анализе и других областях. Большой цикл работ по теории и применениям атомарных функций в различных физических приложениях опубликован В. Ф. Кравченко и представителями его научной школы^{[5][6][7][8][9]}.

Примечания

См. также

• Функция sinc(x)
• Окно (весовая функция)
• B-сплайн
• Теорема Котельникова