06-09-2023
Теоре́ма Коте́льникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста — Шеннона или теорема отсчётов) гласит, что, если аналоговый сигнал имеет финитный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой, строго большей удвоенной верхней частоты :
Содержание |
Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временно́й характеристике точек разрыва. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный частотой ».
Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и, обычно, имеют во временно́й характеристике разрывы. Соответственно, их спектр бесконечен. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно и из теоремы Котельникова вытекают 2 следствия:
Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал можно представить в виде интерполяционного ряда
где — функция sinc. Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала .
Хотя в западной литературе теорема часто называется теоремой Найквиста со ссылкой на работу 1928 года «Certain topics in telegraph transmission theory», в этой работе речь идёт лишь о требуемой полосе линии связи для передачи импульсного сигнала (частота следования должна быть меньше удвоенной полосы). Таким образом, в контексте теоремы отсчётов справедливо говорить лишь о частоте Найквиста. Примерно в это же время Карл Купфмюллер получил тот же результат.[1] О возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчётам в этих работах речь не идёт. Теорема была предложена и доказана В. А. Котельниковым в 1933 году в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи», в которой, в частности, была сформулирована одна из теорем следующим образом[2][3]: «Любую функцию , состоящую из частот от 0 до , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через секунд». Независимо от него эту теорему в 1949 (через 16 лет) году доказал Клод Шеннон[4], поэтому в западной литературе эту теорему часто называют теоремой Шеннона. В 1999 году Международный научный фонд Эдуарда Рейна (Германия) признал приоритет В. А. Котельникова, наградив его премией в номинации «за фундаментальные исследования» за впервые математически точно сформулированную и доказанную в аспекте коммуникационных технологий теорему отсчётов.[5] Исторические разыскания показывают, однако, что теорема отсчётов как в части утверждения возможности реконструкции аналогового сигнала по дискретным отсчётам, так и в части способа реконструкции, рассматривалась в математическом плане многими учеными и ранее. В частности, первая часть была сформулирована ещё в 1897 году Борелем.[6]
Впоследствии было предложено большое число различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчётов.[7][8] Так, вместо кардинального ряда по функциям sinc, являющимся характеристическими функциями прямоугольных импульсов, можно использовать ряды по конечно- или бесконечнократным свёрткам функций sinc. Например, справедливо следующее обобщение ряда Котельникова непрерывной функции с финитным спектром на основе преобразований Фурье атомарных функций[9]:
где параметры удовлетворяют неравенству , а интервал дискретизации
| Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Теорема Котельникова.