Геометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей — распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

Определение

Пусть  — бесконечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

Построим случайную величину  — количество «неудач» до первого «успеха». Распределение случайной величины называется геометрическим с вероятностью «успеха» , что обозначается следующим образом: .

Функция вероятности случайной величины имеет вид:

Замечание

• Иногда полагают по определению, что  — номер первого «успеха». Тогда функция вероятности принимает форму . В этом случае все формулы из таблицы справа должны быть модифицированы очевидным образом.
• Функция вероятности является геометрической прогрессией, откуда и происходит название распределения.

Моменты

Производящая функция моментов геометрического распределения имеет вид:

,

откуда

,

.

Свойства геометрического распределения

• Из всех дискретных распределений с фиксированным средним геометрическое распределение является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.
• Если независимы и , то

.

• Геометрическое распределение бесконечно делимо.

Отсутствие памяти

Если , то , то есть количество прошлых «неудач» не влияет на количество будущих «неудач».

Геометрическое распределение — это единственное дискретное распределение со свойством отсутствия памяти.

Связь с другими распределениями

• Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального распределения: .
• Если независимы и , то

.

Пример

Пусть игральная кость выбрасывается до выпадания первой «шестёрки». Тогда вероятность, что нам потребуется не больше трёх вбросов равна:

.

Ожидаемое число бросков равно:

.

См. также

• Биномиальное распределение.