04-10-2023
Грассмановым многообра́зием или грассманиа́ном линейного пространства называется многообразие, состоящее из его -мерных подпространств (обозначается ). В частности, — это многообразие прямых в пространстве , совпадающее с проективным пространством . Названо в честь Германа Грассмана.
На грассманиане существует естественная проективная параметризация (координаты определены с точностью до умножения на константу). Соответствующие координаты называются координатами Плюккера. Они определяют вложение . Алгебраические соотношения на плюккеровы координаты, определяющие образ вложения в проективном пространстве, называются соотношениями Плюккера.
Содержание |
Грассманиан можно наделить следующим атласом.
Пусть — -мерное подпространство . Введём в векторном пространстве скалярное произведение и обозначим через ортогональное дополнение .
Так как , то любое -мерное подпространство , достаточно близкое к , можно отождествить с линейным отображением , если представить каждый вектор в виде суммы , где и , и положить .
Тогда окрестность точки взаимно однозначно отображается на некоторое открытое подмножество пространства линейных отображений . Построенный атлас делает аналитическим многообразием размерности , где .
Для того, чтобы показать, что является проективным алгебраическим многообразием, нужно воспользоваться соотношениями Плюккера, которые являются однородными алгебраическими уравнениями второй степени.
Грассманиан является клеточным пространством. Соответствующее клеточное разбиение называется клетки Шуберта. Оно строится следующим образом. Выберем в объемлющем пространстве базис . Заданному k-мерному подпространству сопоставим набор чисел (символ Шуберта) по правилу
Здесь — подпространство, натянутое на первые векторов базиса. Множество всех подпространств с заданными значениями гомеоморфно клетке, размерность которой равна . Для комплексного грассманиана все клетки являются комплексными пространствами, поэтому нетривиальные клетки имеются лишь в чётных размерностях. Как следствие, гомологии комплексного грассманиана имеют вид
Здесь — число различных символов Шуберта в (комплексной) размерности .
Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Грассманиан.