Плюккеровы координаты

Плюккеровы координаты — координаты (наборы чисел), определяющие подпространства (произвольной размерности) векторного или проективного пространства . Являются обобщением однородных координат точек проективного пространства и также определены с точностью до умножения на произвольный ненулевой множитель. Впервые введены Плюккером в частном случае проективных прямых в трёхмерном проективном пространстве, что соответствует случаю и для векторных пространств.

Определение в координатах

Пусть — -мерное подпространство -мерного векторного пространства . Для определения плюккеровых координат подпространства выберем произвольный базис в и произвольный базис в . Каждый вектор имеет в базисе координаты , то есть . Записывая координаты векторов в виде строк, получим матрицу

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix},$

ранг которой равен . Обозначим через минор матрицы , состоящий из столбцов с номерами , принимающими значения от до . Числа не независимы: если набор индексов получен из с помощью перестановки , то имеет место равенство , где знак «плюс» или «минус» соответствует тому, является ли перестановка чётной или нечётной. Рассматриваемая с точностью до умножения на общий ненулевой множитель совокупность чисел для всех упорядоченных наборов индексов , принимающих значения от до , называется плюккеровыми координатами подпространства .

Свойства

1. Независимость от выбора базиса.

Если в подпространстве выбран другой базис , то новый набор плюккеровых координат будет иметь вид , где — некоторый ненулевой множитель. Действительно, новый базис связан со старым соотношениями , и определитель матрицы отличен от нуля. Согласно определению плюккеровых координат и теореме об определителе произведения матриц, имеем , где .

2. Грассманиан.

Ставя в соответствие каждому -мерному подпространству набор его плюккеровых координат , мы сопоставляем некоторую точку проективного пространства размерности . Построенное таким образом отображение инъективно, но не сюръективно (то есть его образ не совпадает со всем пространством ). Образ множества всех -мерных подпространств -мерного пространства при отображении является -мерным проективным алгебраическим многообразием в , называемым многообразием Грассмана или грассманианом и обозначаемым или .

3. Соотношения Плюккера.

Критерием, с помощью которого можно определить, принадлежит ли данная точка проективного пространства грассманиану , являются так называемые соотношения Плюккера:

где все индексы в наборах и принимают значения от до , знак обозначает пропуск стоящего под ним индекса. Данная сумма получается, если из совокупности выбрасывается поочередно по одному индексу и этот индекс приписывается справа к набору , потом два получившихся числа перемножаются (заметим, что эти числа являются минорами матрицы , но не обязательно являются плюккеровыми координатами, так как наборы их индексов не обязательно упорядочены по возрастанию) и затем берётся сумма всех таких произведений с чередующимися знаками. Соотношения Плюккера выполнены для каждого -мерного подпространства . И обратно, если однородные координаты , , некоторой точки проективного пространства удовлетворяют этим соотношениям, то эта точка при отображении соответствует некоторому подпространству , то есть принадлежит .

На языке матриц это означает: если числа удовлетворяют соотношениям Плюккера, то существует матрица для которой они являются минорами максимального порядка, а если нет, то не существует такой матрицы. Что решает задачу о возможности восстановления матрицы по ее минорам максимального порядка, с точностью до линейного преобразования строк.

Пример

В случае и имеем , и следовательно, каждая плоскость в 4-мерном векторном пространстве имеет плюккеровых координат: , , , , , . Выбирая в плоскости базис таким образом, что и , получаем матрицу

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \alpha & \beta \\ 0 & 1 & \gamma & \delta \\ \end{pmatrix},$

откуда находим:

, , , , , .

Очевидно, что имеет место соотношение

сохраняющееся при умножении всех на любой общий множитель, то есть не зависящее от выбора базиса. Это и есть соотношение Плюккера, определяющее проективную квадрику в 5-мерном проективном пространстве.

Литература

Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — М.: изд-во МГУ, 1962.
Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М.: Факториал, 1998.
Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — Т. 1. — М.: ИЛ, 1954. (Здесь Плюккеровы координаты названы Грассмановыми).
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.

Lt304888.ru

Туристические услуги

Рекомендуем