Группа треугольника (2,3,7)^[1] — треугольная группа (группа фон Дика) D(2,3,7) сохраняющих ориентацию отображений. Важный объект в теории римановых поверхностей и геометрии Лобачевского в связи с поверхностями Гурвица^[en], а именно^{[уточнить]} с римановыми поверхностями рода g с максимально высоким возможным порядком группы автоморфизмов, равным 84(g − 1).

Нормальные подгруппы без кручения треугольной группы (2,3,7) являются фуксовыми группами^[en], ассоциированными с поверхностями Гурвица, такими как квартика Клейна^[en], поверхность Макбита и первая тройка Гурвица^[en].

Построения

Гиперболическое построение

Чтобы построить треугольную группу, начнём с гиперболического треугольника с углами π/2, π/3, π/7. Этот треугольник является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и его отражения замощают плоскость путём отражений относительно сторон. Рассмотрим группу, порождённую отражениями относительно сторон треугольника. Эта группа является неевклидовой кристаллографической группой^[en] (дискретной подгруппой гиперболических изометрий) с этим треугольником в качестве фундаментальной области. Ассоциированная мозаика является разделённой семиугольной мозаикой порядка 3^[en]. Треугольная группа (2,3,7) определяется как подгруппа индекса 2, состоящая из сохраняющих ориентацию изометрий, и является фуксовой группой^[en] (сохраняющей ориентацию неевклидовой кристаллографической группой).

Задание группы

Группа может быть задана при помощи пары генераторов, g₂, g₃, со следующими соотношениями:

${\displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=1.}$

Геометрически эти соотношения соответствуют вращениям на 2π/2, 2π/3 и 2π/7 вокруг вершин треугольника Шварца.

Алгебра кватернионов

Группа треугольников (2,3,7) может быть представлена при помощи группы кватернионов с нормой 1 при подходящем R-порядке^[en][2] в алгебре кватернионов^[en]. Конкретнее, группа треугольника является факторгруппой группы кватернионов по её центру ±1.

Пусть η = 2cos(2π/7). Тогда из равенства

${\displaystyle (2-\eta )^{3}=7(\eta -1)^{2}.}$

видим, что Q(η) является полностью вещественным кубическим расширением Q. Гиперболическая группа треугольника (2,3,7) является подгруппой группы элементов алгебры кватернионов с нормой 1, образованной как ассоциативная алгебра парой генераторов i и j и отношениями i² = j² = η, ij = −ji. Можно выбрать подходящий порядок кватернионов Гурвица^[en] ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$ в алгебре кватернионов. Здесь порядок ${\displaystyle Q_{\mathrm {Hur} }}$ порождается элементами

${\displaystyle g_{2}={\tfrac {1}{\eta }}ij}$

${\displaystyle g_{3}={\tfrac {1}{2}}(1+(\eta ^{2}-2)j+(3-\eta ^{2})ij).}$

Фактически порядок является свободным Z[η]-модулем над базисом ${\displaystyle 1,g_{2},g_{3},g_{2}g_{3}}$. Генераторы удовлетворяют условиям

${\displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=-1,}$

которые сводятся к соотношениям в треугольной группе после взятия факторгруппы по центру.

Связь с SL(2,R)

Расширив скаляры из Q(η) в R (путём стандартного вложения), получим изоморфизм между алгеброй кватернионов и алгеброй M(2,R) вещественных 2 х 2 матриц. Выбор конкретного изоморфизма позволяет показать группу треугольника (2,3,7) как частный случай фуксовой группы^[en] в SL(2,R)^[en], а именно как факторгруппу модулярной группы. Это можно визиуализировать с помощью ассоциированных мозаик, как представлено справа на рисунке — мозаика (2,3,7) диска Пуанкаре является факторпространством модулярной мозаики верхнего полупространства.

Однако для многих целей нет необходимости в явном задании изоморфизма. Так, следы элементов группы (а следовательно, расстояние перемещения гиперболических элементов в верхней полуплоскости^[en], как и систолы^[en] фуксовых подгрупп) можно вычислить с помощью сокращённых следов в алгебре кватернионов по формуле

${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma )=2\cosh(\ell _{\gamma }/2).}$

Примечания