Группа симметрии (группа симметрий) некоторого объекта, многогранника или множества точек из метрического пространства ― это группа всех движений, для которых данный объект является инвариантом, с композицией в качестве групповой операции. Как правило, рассматриваются множества точек n-мерного евклидова пространства и движения этого пространства, но понятие группы симметрии сохраняет свой смысл и в более общих случаях.

Примеры

• Группа симметрии отрезка в одномерном пространстве содержит два элемента: тождественное преобразование и отражение относительно середины отрезка. Но в двумерном евклидовом пространстве существует уже 4 движения, переводящих заданный отрезок в себя. В трехмерном пространстве отрезок обладает бесконечным множеством симметрий (элементами группы симметрии будут, в частности, повороты на произвольный угол вокруг прямой, содержащей этот отрезок).
• Группа симметрии равностороннего треугольника на плоскости состоит из тождественного преобразования, поворотов на углы 120° и 240° вокруг центра треугольника и отражений относительно его высот. В этом случае группа симметрии состоит из 6 преобразований, которые осуществляют все возможные перестановки вершин треугольника. Следовательно, эта группа изоморфна симметрической группе S₃. Однако группа симметрии квадрата имеет порядок 8, а симметрическая группа S₄ изоморфна группе симметрии правильного тетраэдра.
• Группа симметрии разностороннего треугольника тривиальна, т.е. состоит из одного элемента ― тождественного преобразования.
• Если считать, что человеческое тело зеркально симметрично, то его группа симметрии состоит двух элементов: тождественного преобразования и отражения относительно плоскости, которая делит тело на симметричные друг другу правую и левую части.
• Произвольное периодическое замощение плоскости (или орнамент) имеет группу симметрии, элементы которой всеми возможными способами совмещают некий фиксированный элемент замощения с каждым конгруэнтным ему элементом.

Классификация

Ниже предполагается, что для каждой точки множество образов , где - группа симметрии, топологически замкнуто.

Одномерное пространство

Каждое движение одномерного пространства является либо переносом всех точек прямой на некоторое фиксированное расстояние, либо отражением относительно некоторой точки. Множество точек одномерного пространства обладает одной из следующих групп симметрии:

• тривиальная группа C₁
• группа, состоящая из тождественного преобразования и отражения относительно точки (изоморфна циклической группе C₂)
• бесконечные группы, состоящие из степеней некоторого переноса (изоморфны бесконечной циклической группе)
• бесконечные группы, для которых образующими являются некоторый перенос и отражение относительно некоторой точки;
• группа всех переносов (изоморфна аддитивной группе действительных чисел)
• группа всех переносов и отражений относительно каждой точки прямой

Двумерное пространство

В двумерном случае группы симметрии делятся на следующие классы:

• циклические группы C₁, C₂, C₃, ... состоящие из поворотов вокруг неподвижной точки на углы, кратные 360°/n
• диэдральные группы D₁, D₂, D₃, ...
• специальная ортогональная группа SO(2)
• ортогональная группа O(2)
• 7 групп симметрии фризов
• 17 групп симметрии орнаментов (или плоских кристаллографических групп)
• бесконечные группы, которые получаются из одномерных групп симметрии добавлением переносов вдоль направления, перпендикулярного исходной прямой, и симметрий относительно этой прямой.

Трехмерное пространство

Перечень конечных групп симметрии состоит из 7 бесконечных серий и 7 случаев, рассматриваемых отдельно. В этот перечень входят 32 точечные кристаллографические группы и группы симметрии правильных многогранников.

Континуальные группы симметрии включают в себя

• группу симметрии прямого кругового конуса
• группу симметрии кругового цилиндра
• группу симметрии сферы

Литература

• Г. Вейль Симметрия. — М.: Наука, 1968.

См. также

• Правильные многогранники
• Список кристаллографических групп