Жорданова матрица (нормальная жорданова форма) — одно из фундаментальных понятий линейной алгебры, имеющее большое число приложений в различных разделах математики и физики.

Жордановой матрицей называется квадратная блочно-диагональная матрица над полем , с блоками вида

при этом каждый блок называется жордановой клеткой с собственным значением (собственные значения в различных блоках, вообще говоря, могут совпадать).

Для произвольной квадратной матрицы над алгебраически замкнутым полем (например, полем комплексных чисел ) всегда существует квадратная невырожденная (т.е. обратимая, с отличным от нуля определителем) матрица над , такая, что

является жордановой матрицей. При этом матрица называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) данной матрицы . В этом случае также говорят, что жорданова матрица в поле подобна (или сопряжена) данной матрице . И наоборот, в силу эквивалентного соотношения

матрица подобна в поле матрице . Нетрудно показать, что введённое таким образом отношения подобия является отношением эквивалентности и разбивает множество всех квадратных матриц заданного порядка над данным полем на непересекающиеся классы эквивалентности.

Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.

Вариации и обобщения

Помимо жордановой нормальной формы, рассматривают ряд других типов нормальных форм матрицы. К их рассмотрению прибегают, например, когда основное поле не содержит всех корней характеристического многочлена данной матрицы.

Над полем вещественных чисел () собственные значения матрицы (т.е. корни характеристического многочлена) могут быть как вещественными, так и комплексными, причем комплексные собственные значения, если они есть, присутствуют парами вместе со своими комплексно сопряжёнными: , где и — вещественные числа, . В вещественном пространстве такой паре комплексных собственных значений отвечает блок

Соответственно, в вещественном пространстве к указанному выше виду жордановых матриц добавляются матрицы, содержащие также блоки вида , отвечающие парам комплексных собственных значений.^[1][2]

Свойства

• Количество жордановых клеток порядка с собственным значением в жордановой форме матрицы можно вычислить по формуле

  

где — единичная матрица того же порядка что и , символ обозначает ранг матрицы, а , по определению, равен порядку .

• Вышеприведённая формула следует из равенства

• В случае если поле не является алгебраически замкнутым, для того чтобы матрица была подобна над некоторой жордановой матрице, необходимо и достаточно, чтобы поле содержало все корни характеристического многочлена матрицы .
• У эрмитовой матрицы все жордановы клетки имеют размер 1.
• Является матрицей линейного оператора в каноническом базисе.
• Жордановы формы двух подобных матриц совпадают с точностью до порядка клеток.

История

Такая форма матрицы рассматривалась одним из первых Жорданом.

Примечания

Литература

• Халмош П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
• Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — М.: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Ким, Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Москва, 2005.
• В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. «Жорданова форма матрицы оператора» //180Кб 10.03.2009//