18-06-2023
Звезда — определённый вид плоских невыпуклых многоугольников, не имеющий, однако, однозначного математического определения. Обычно под звёздами подразумевают фигуры, напоминающие по форме изображение звезды.
Содержание |
Звезда — плоская геометрическая фигура, составленная из треугольных лучей, исходящих из общего центра, сливающихся в точке схождения.
По количеству лучей выделяют трёхконечные, четырёхконечные и т. д. звёзды.
Произвольная n-конечная звезда строится следующим образом: строится окружность. (Назовём отрезок, пересекающий эту окружность не более чем в одной точке, «внешним».) На ней произвольным образом выбирают n точек (назовём их «синими»). Далее вне круга, ограниченного этой окружностью, ставятся n точек (назовём их «красными») так, чтобы любая синяя точка была соединена внешними отрезками ровно с двумя красными, а любая красная точка была соединена двумя внешними отрезками ровно с двумя синими; при этом никакие два из этих отрезков не должны пересекаться иначе как в концах; и углы между двумя отрезками, исходящими из одной синей точки, — внешние углы звезды, — должны быть тупыми (следовательно, углы между двумя отрезками, исходящими из одной красной точки, — внутренние углы звезды, — должны быть острыми).
Звездой будет называться многоугольник, образованный построенными нами внешними отрезками. Очевидно, n-конечная звезда является невыпуклым 2n-угольником. Можно определить n-конечную звезду как 2n-угольник, у которого углы при вершинах поочерёдно то больше 180°, то меньше.
Окружность, на которой строилась звезда, называется базовой; базовая окружность входит в звезду; радиус базовой окружности является важной характеристикой звезды.
Правильной называется звезда, у которой все внутренние углы равны и все внешние углы равны.
Фигура, ограниченная двумя отрезками, исходящими из одной красной точки, и дугой базовой окружности, на которую этот угол опирается, называется лучом звезды. Очевидно:
Отрезки, соединяющие центр базовой окружности и красные точки, называются радиалами соответствующих данным красным точкам лучам звезды. Звезда, у которой длины всех радиалов равны, называется равнолучевой.
У полуправильной звезды углы между двумя соседними радиалами равны. У правильной звезды, кроме этого, длины радиалов равны. Таким образом, правильная звезда — это полуправильная равнолучевая звезда.
Другое, отличное от предыдущего, понятие звезды связано со способом построения, который состоит в том, что по кругу симметрично ставятся n точек и они соединяются между собой, при этом каждая точка соединяется со следующей, m-ой от неё при счёте по кругу, через некоторое количество точек (m - 1) (при m = 1 точки соединяются подряд и получается выпуклый правильный многоугольник). Звезда, полученая таким образом, обозначается символом {n/m}. При этом точки пересечения рёбер между собой внутри окружности не рассматриваются как вершины. Такая звезда имеет n вершин и n сторон, также как и правильный n-угольник. Её также называют звёздчатым многоугольником, и она является звёздчатой формой соответствующего ей n-угольника.
Соотношение радиусов внешней (на которой лежат вершины углов лучей звезды) и внутренней (на которой лежат точки пересечения сторон соседних лучей) окружностей правильной звезды с вышеприведенным вариантом построения вычисляется по формуле:
Звёзды могут быть связными (нераспадающимися едиными многоугольниками), не являясь соединениями других правильных или звёздчатых многоугольников, а могут быть несвязными, распадаясь на несколько одинаковых правильных многоугольников или связных звёзд.
Звёздчатые многоугольники — звёздчатые иллюзии
Звезда (геометрия).